II.

7.Avant d’aller plus loin, il est nécessaire de préciser plusieurs points. Nous avons parlé de temps et de longueur. Cela n’a de sens que si les observateurs placés sur différents systèmes savent mesurer ces grandeurs. Nous avons, par hypothèse, un système variable S animé d’un mouvement de translation uniforme par rapport à un système σ ; ce sera, par exemple, une droite glissant d’un mouvement uniforme sur une autre.

8.Soit envisagé S ; tout d’abord, quand dirons nous qu’un point M de S est à égale distance de deux points A et B de ce même système ? Ce sera quand, des miroirs ayant été placés en ces derniers points, un signal lumineux émis en M reviendra en ce point au même instant après réflexions en A et B. Il résulte de là qu’un observateur de S peut faire des graduations dans ce système, sans déplacer des règles.

9.Une autre notion essentielle est ensuite celle de la simultanéité (dans le système S) de deux événements se passant en A et B. Ces événements seront simultanés si des signaux lumineux, partant respectivement de A et B à l’instant où ces événements se produisent, arrivent simultanément au milieu M de AB. Le réglage des horloges résulte évidemment de là : deux horloges identiques du système S placées en A et B marcheront d’accord si elles marquent la même heure, quand deux événements se produisent simultanément en A et B. On peut encore dire, relativement à ce réglage, que si un signal, partant de A au temps zéro, y revient au temps ${\displaystyle \theta }$ après réflexion en B, l’horloge en ce dernier point devra marquer ${\displaystyle {\frac {\theta }{2}}}$ quand arrivera le signal lancé par A. Il reste, pour l’observateur entraîné avec S, à faire choix d’une unité de longueur ; il prendra pour cette unité une longueur relative à un phénomène physique produit dans le système, par exemple la longueur d’onde d’une radiation déterminée, émise par une source rattachée au système, et pour unité de temps la période correspondant à cette onde.

10.Ainsi donc, il y a pour le système S des unités déterminées et un temps local. Il en est de même pour le système σ. Mais comment pourrons-nous comparer les longueurs et les temps de S et de σ ? Il ne peut être question de transport d’appareils de mesure d’un système à l’autre, ce qui, sans parler des impossibilités, pourrait donner lieu à des altérations dont on ne peut rien dire a priori.

Cette comparaison va être faite en invoquant le principe d’Einstein de la vitesse constante ${\displaystyle c}$ de la lumière, et en tenant compte de la réciprocité des deux systèmes.

Soient ${\displaystyle \mathrm {O} x}$ la ligne des abscisses dans le système σ, et ${\displaystyle \Omega \mathrm {X} }$ la ligne des abscisses dans S ; ces droites glissent l’une sur l’autre. L’origine ${\displaystyle \Omega }$ des coordonnées dans S a une vitesse ${\displaystyle v}$ sur ${\displaystyle \mathrm {O} x}$. Un point quelconque M a respectivement les coordonnées ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle \mathrm {X} }$ par rapport aux deux systèmes ; ${\displaystyle t}$ et ${\displaystyle \mathrm {T} }$ sont respectivement les temps correspondant à ceux-ci. On veut chercher les expressions de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle t}$ en fonction de ${\displaystyle \mathrm {X} }$ et ${\displaystyle \mathrm {T} }$, en supposant, comme il est permis par un choix convenable des origines, que ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle t}$ s’annulent pour ${\displaystyle \mathrm {X=T=0} }$.

Si le couple ${\displaystyle {(x,t)}}$ correspond à une onde lumineuse, sa vitesse ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ étant égale à ${\displaystyle c}$, on aura

mais, d’après l’hypothèse d’Einstein, cette équation devra entraîner

Une de ces équations entraîne donc l’autre. Les premiers membres de ces équations ne diffèrent donc que par un facteur, et la réciprocité^[3] des deux systèmes exige que ce facteur soit égal à l’unité. On a donc

(1)

${\displaystyle c^{2}dt^{2}-dx^{2}=c^{2}d\mathrm {T} ^{2}-d\mathrm {X} ^{2},}$

ce qui détermine les expressions cherchées, en ajoutant la condition que la vitesse de ${\displaystyle \Omega }$ par rapport à ${\displaystyle \mathrm {O} }$ est égale à ${\displaystyle v}$. On trouve ainsi

(2)

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\mathrm {X} +v\mathrm {T} }{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},&t&={\frac {\mathrm {T} +{\dfrac {v\mathrm {X} }{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}$

d’où se déduit de suite

(3)

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},&\mathrm {T} &={\frac {t-{\dfrac {vx}{c^{2}}}}{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}$

équations auxquelles on adjoindra ${\displaystyle {y=\mathrm {Y} }}$, ${\displaystyle {z=\mathrm {Z} }}$, ces deux coordonnées n’ayant pas changé puisque S a, par rapport à σ, une translation dans le sens de l’axe des ${\displaystyle x}$.

Si le sens de la translation uniforme avait été quelconque, on aurait eu une transformation plus générale, se rattachant à l’invariance (4), qui généralise (1) :

(4)

${\displaystyle c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}d\mathrm {T} ^{2}-d\mathrm {X} ^{2}-d\mathrm {Y} ^{2}-d\mathrm {Z} ^{2},}$

et le groupe correspondant porte le nom de Lorentz, qui l’a systématiquement envisagé.

On voit le rôle joué par les signaux lumineux dans les mesures de l’espace et du temps, ainsi que le postulat résultant de l’interprétation de l’expérience de Michelson. Si l’on n’adopte pas ces points de vue, la théorie n’a plus de base.

11.Tirons diverses conséquences des équations (2) et (3). Soit une longueur ${\displaystyle \mathrm {M_{1}M_{2}} }$ sur S, les abscisses des extrémités ${\displaystyle \mathrm {M_{1}} }$ et ${\displaystyle \mathrm {M_{2}} }$ sur ${\displaystyle \Omega \mathrm {X} }$ étant ${\displaystyle \mathrm {X_{1}} }$ et ${\displaystyle \mathrm {X_{2}} }$. À un même temps ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \mathrm {M_{1}} }$ et ${\displaystyle \mathrm {M_{2}} }$ occupent sur σ les positions ${\displaystyle m_{1}}$ et ${\displaystyle m_{2}}$ correspondant aux abscisses ${\displaystyle x_{1}}$ et ${\displaystyle x_{2}}$ sur ${\displaystyle \mathrm {O} x}$. On a, d’après la première des équations (3),

c’est-à-dire que

Par suite, pour l’observateur sur σ, la longueur ${\displaystyle {\overline {\mathrm {M_{1}M_{2}} }}}$ est réduite, et cela d’autant plus que ${\displaystyle v}$ est plus grand.

Supposons encore qu’un phénomène se passe en ${\displaystyle \Omega (\mathrm {X} =0)}$, et dure un temps ${\displaystyle \mathrm {T} }$ pour l’observateur sur S. L’observateur sur σ lui attribuera la durée plus longue

comme il résulte de la seconde des équations (2). Le temps avance donc moins vite pour l’observateur fixe que pour l’observateur mobile. Un homme en mouvement vieillit par suite plus lentement, du moins à l’estime d’un homme au repos.

12.En différentiant les formules (2), et en divisant, on voit que la loi de composition de deux vitesses ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$ est donnée par la formule (on pose ${\displaystyle {{\frac {d\mathrm {X} }{d\mathrm {T} }}=u}}$)

La cinématique de la relativité est donc différente de la cinématique classique, pour laquelle la loi de composition est ${\displaystyle {u+v}}$ ; les lois ne coïncident que pour ${\displaystyle {c=\infty }}$.

Divers phénomènes sont bien d’accord avec le résultat précédent. Citons seulement ce qui concerne la vitesse de la lumière dans un liquide en mouvement. Soient ${\displaystyle u}$ la vitesse du liquide, ${\displaystyle {\frac {c}{n}}}$ la vitesse de la lumière dans le liquide en repos (${\displaystyle n}$ étant l’indice de réfraction). La vitesse résultante est, d’après la formule précédente non pas ${\displaystyle {u+{\frac {c}{n}}}}$, mais

c’est-à-dire approximativement ${\displaystyle {{\frac {c}{n}}+u\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}}$ ; le second terme correspond au transport partiel de l’onde lumineuse proposé par Fresnel, et ce résultat est d’accord avec une expérience célèbre de Fizeau faite en 1851. Remarquons d’ailleurs que, dans le raisonnement précédent, on étend à un milieu transparent le postulat de l’isotropie de la vitesse de la lumière admis pour le vide.

13.D’après La théorie de la relativité restreinte, il n’y a pas pour les phénomènes d’échelle absolue de mesure, indépendante des systèmes dans lesquels ils sont observés. En outre, le temps et l’espace jouent des rôles analogues, sinon identiques, dans les équations. Il n’y a donc pas, dans la doctrine de la relativité, d’un côté un espace ${\displaystyle {(x,y,z)}}$ et un temps ${\displaystyle t}$, mais un continuum ${\displaystyle {(x,y,z,t)}}$ à quatre dimensions. Les phénomènes se passent dans ce continuum que Minkowski appelle l’Univers. Cette idée a été exprimée par ce géomètre dans une conférence faite en 1908, trois ans après l’apparition du premier Mémoire d’Einstein, sous la forme suivante : « Dès maintenant l’espace indépendant du temps et le temps indépendant de l’espace ne sont plus que des ombres vaines ; une sorte d’union des deux doit seule subsister encore. »

Un événement est représenté par un point de l’Univers, et il décrit dans ses modifications une ligne d’Univers. L’expression

ne change pas quand on effectue sur ${\displaystyle x,y,z,t}$ les transformations du groupe de Lorentz, et l’intégrale

prise sur une ligne d’Univers entre les événements correspondant à ses extrémités A et B est appelée l’intervalle entre ces événements. Guidé par des analogies avec la théorie des lignes géodésiques des surfaces et l’ordre d’idées se rattachant au principe de la moindre action, on pose qu’un mobile libre décrit une géodésique de l’Univers de Minkowski, et que, par suite, pour la trajectoire de ce mobile, la variation de l’intervalle entre deux événements est égale à zéro, ce qui s’exprime par

${\displaystyle \delta }$ étant le symbole ordinaire du calcul des variations. Un calcul facile montre que ces trajectoires sont des lignes droites parcourues uniformément. Les rayons lumineux sont des géodésiques de longueur nulle (${\displaystyle ds=0}$).