III.

14.Einstein a été peu à peu conduit à une extension considérable de sa première théorie. Reprenons le ${\displaystyle ds^{2}}$ envisagé plus haut :

(5)

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.}$

Si, au lieu des coordonnées ${\displaystyle x,y,z,t}$, nous faisons usage de coordonnées généralisées ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$, de telle sorte que ${\displaystyle x,y,z,t}$ soient des fonctions de ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$, ${\displaystyle ds^{2}}$ deviendra une expression de la forme

(6)

${\displaystyle ds^{2}=\textstyle \sum g_{ik}\,dx_{i}\,dx_{k}\qquad (g_{ik}=g_{ki})\;(i,k=1,2,3,4).}$

les ${\displaystyle g}$ étant des fonctions de ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ; on peut, par exemple, supposer que ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ sont des coordonnées curvilignes dans l’espace ordinaire et ${\displaystyle x_{4}}$ une coordonnée relative à une horloge chargée seulement de définir l’ordre de succession des événements autour du point ${\displaystyle {(x_{1},x_{2},x_{3})}}$. À l’Univers envisagé se trouve ainsi attachée une certaine forme (6).

Prenons maintenant la question en sens inverse, et donnons-nous arbitrairement dix fonctions ${\displaystyle g_{ik}}$ de ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ et, par suite, la forme quadratique (6) de différentielles. Un problème se pose d’abord : peut-on de (6) remonter à (5) en prenant pour les ${\displaystyle x_{i}}$ des fonctions convenables de ${\displaystyle x,y,z,t}$ ? La réponse est négative : la chose n’est possible que si les ${\displaystyle g}$ satisfont à vingt relations renfermant les ${\displaystyle g}$ et leurs dérivées partielles jusqu’au second ordre. Si ces conditions sont remplies, on dit que l’Univers correspondant à (6) est euclidien^[4] ; il en est ainsi, en particulier, quand les ${\displaystyle g}$ sont des constantes.

Supposons-nous maintenant dans le cas général, où l’Univers donné par (6) n’est pas euclidien. Nous considérons alors en un point déterminé, d’ailleurs quelconque, de cet Univers un Univers euclidien qui lui soit tangent. Voici ce qu’on entend par là. Le point étant donné, la forme quadratique (6) est une forme quadratique des ${\displaystyle dx_{i}}$ à coefficients constants. On peut alors choisir ${\displaystyle dx,dy,dz,dt}$ fonctions linéaires et homogènes de ${\displaystyle dx_{1},dx_{2},dx_{3},dx_{4}}$, de telle sorte que (5) se transforme en (6). Notre Univers initial a été ainsi transformé en un Univers euclidien, mais seulement dans le voisinage du point envisagé : cet Univers euclidien est l’Univers tangent en ce point.

Dans les univers euclidiens tangents aux divers points, supposons, pour fixer les idées, que les observateurs prennent pour unité de longueur une certaine longueur d’onde lumineuse et une unité de temps telle qu’elle donne à la vitesse de la lumière une valeur ${\displaystyle c}$. Dans ces conditions, une correspondance se trouve établie de proche en proche entre les observations faites dans notre Univers et celle des observateurs des Univers euclidiens tangents. C’est là un point fondamental, mais l’application de cette idée générale n’est pas sans présenter quelques difficultés, comme on le verra plus loin sur un cas particulier.

15.On pose en principe que toute loi physique doit être exprimée par des équations gardant la même forme, quand on substitue aux coordonnées généralisées des fonctions quelconques de celles-ci, ce qui constitue sous sa forme générale le principe de relativité. Il en est bien ainsi pour les équations du mouvement d’un point libre ; elles sont obtenues en écrivant que la variation de l’intervalle entre deux événements A et B est nulle, c’est-à-dire

et elles gardent manifestement la même forme invariante par rapport au ${\displaystyle ds}$ transformé. Les trajectoires correspondantes sont dites les géodésiques correspondant au ${\displaystyle ds}$.

La physique d’un Univers dépend donc de son ${\displaystyle ds}$. C’est ce qui a fait dire que la physique se trouve ramenée à la géométrie.