IV.

16.Dans un Univers euclidien, on dit qu’il n’y a pas de champ permanent de gravitation. Donc dans un Univers, où il y a un champ gravitationnel, les ${\displaystyle g}$ ne satisfont pas aux vingt équations dont nous avons parlé plus haut. D’autre part, s’il y a, pour un Univers, des relations entre les ${\displaystyle g}$ et leurs dérivées partielles le caractérisant, les idées d’invariance imposées par le principe de relativité exigent que l’ensemble de ces relations ait une forme invariante quand on fait un changement quelconque de coordonnées. C’est le grand mérite d’Einstein d’avoir su trouver un système de relations entre les ${\displaystyle g}$, moins limitatif que les vingt équations relatives à l’espace euclidien, et capables, suivant lui, de caractériser un espace gravitationnel.

Nous ne pouvons songer ici à indiquer les diverses hypothèses et les laborieux calculs qui ont conduit à ces relations, se présentant en nombre d’abord égal à dix, mais réductible à six. Disons seulement qu’Einstein a pris pour point de départ l’hypothèse qu’une transformation convenable de coordonnées est équivalente, dans le voisinage d’un point, à une force de gravitation ; c’est là l’idée directrice qui permet de ne plus parler de force et, en fait, dans cette géométrisation de la physique, l’attraction n’est plus une force, mais une propriété de l’espace.

Les propriétés de la matière se rattachent à cette géométrie à quatre dimensions par des généralisations de l’équation classique de Poisson dans la théorie du potentiel newtonien.

Je n’ai pas cru devoir dans l’exposition qui précède parler de courbure dans l’espace à quatre dimensions. Il n’y a là qu’un langage plus ou moins commode, car nous n’avons pas l’intuition d’un tel espace. Peut-être même a-t-il conduit parfois à des assertions en opposition avec la pure doctrine de la relativité. Ainsi on peut lire chez certains auteurs que la présence de la matière produit une courbure de l’espace, tandis qu’il est plus conforme aux idées de géométrisation de dire que l’existence de la matière est une conséquence de certaines déformations. Je n’ai rien dit non plus de la masse, notion qui ne joue pas de rôle direct dans les applications faites ici à l’astronomie ; ce qui la concerne doit, pour être présenté dans toute son ampleur, être rattaché aux formules compliquées de la relativité générale.

17.Les seuls contrôles expérimentaux auxquels a été soumise jusqu’ici en astronomie la théorie de la relativité se rapportent à un champ ponctuel de gravitation provenant d’un point que nous supposerons placé à l’origine. La recherche du ${\displaystyle ds}$ correspondant renferme beaucoup d’indétermination. Le problème peut être précisé au moyen de diverses hypothèses simplificatrices. Dans la forme la plus usitée, on appelle ${\displaystyle t}$ la quatrième variable ${\displaystyle x_{4}}$, et ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ représentent les coordonnées polaires ${\displaystyle r,\theta ,\psi }$ de l’espace habituel. On a alors

(8)

${\displaystyle ds^{2}=\gamma \,c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\gamma }}-r^{2}d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\!\theta \,d\psi ^{2},}$

où ${\displaystyle {\gamma =1-{\frac {2m}{r}}}}$ ; ${\displaystyle m}$ est une constante introduite dans le courant du calcul.

Le mouvement d’un point libre dans l’espace (8) se détermine facilement. L’orbite est approximativement une ellipse, dont l’origine est un foyer. Mais le grand axe de cette ellipse n’est pas fixe, comme dans le cas newtonien du problème des deux corps. Il tourne à chaque tour d’un angle sensiblement égal à

(9)

${\displaystyle {\frac {24\,\pi ^{3}a^{2}}{c^{2}\mathrm {T} ^{2}(1-e^{2})}},}$

${\displaystyle a,\mathrm {T} ,e}$ désignant respectivement le grand axe, le temps de la révolution et l’excentricité ; de là se déduit la rotation séculaire.

18.Une application de la formule donnant la rotation séculaire a eu un grand retentissement ; c’est celle qui concerne le mouvement du périhélie de la planète Mercure. On sait que, dans la mécanique céleste classique, le mouvement de Mercure est approximativement aussi un mouvement elliptique avec rotation du grand axe, mais cette rotation tient à l’action des autres planètes, particulièrement de Vénus. Or la théorie des perturbations donne seulement pour le périhélie une avance de 532″ par siècle, tandis que l’observation donne une avance de 574″. Il y a donc un résidu d’environ 42″, mais il me semble que ce nombre ne soit pas déterminé avec une grande précision. Malgré des tentatives variées (changement de l’exposant dans la loi de Newton, aplatissement du Soleil, planète intramercurielle, lumière zodiacale, loi électrodynamique, etc.), on n’a pas réussi à expliquer d’une manière satisfaisante ce résidu^[5].

Einstein s’est demandé ce que donnerait la théorie nouvelle appliquée à Mercure, en ce qui regarde l’action solaire, rien n’étant changé d’ailleurs dans l’action des planètes. Or il est remarquable que, en introduisant dans la formule (9) les nombres relatifs à Mercure^[6], on trouve 42″,9 : c’est la différence cherchée. On pourrait presque dire que ce résultat est trop satisfaisant, tant d’influences incomplètement analysées jusqu’ici devant s’exercer dans le voisinage du Soleil, si toutefois on considère le nombre de 42″ comme correspondant réellement aux observations.

Pour les autres planètes, sauf peut-être Mars, la rotation du périhélie est très mal déterminée, à cause de la petitesse de l’excentricité, car la quantité mesurée est le produit de la rotation par l’excentricité ; il n’y a donc pas lieu de leur appliquer la théorie précédente. Quant à Mars, il y a entre l’observation et la théorie classique un résidu de 4″, susceptible peut-être de s’expliquer par l’attraction des astéroïdes circulant entre Mars et Jupiter. Quoi qu’il en soit, si l’on applique la formule (9), on trouve pour la rotation du grand axe de Mars pendant un siècle le nombre 1″,35 : le résidu non expliqué de 4″ serait donc diminué de ce nombre.

19.Un second problème relatif à l’espace gravitationnel (8) appelle l’attention. Quelle est la trajectoire d’un rayon lumineux ? Il faut chercher, comme nous l’avons dit, les géodésiques de longueur nulle. Le rayon lumineux est approximativement hyperbolique. Si la distance du sommet de cette courbe au centre de gravitation est ${\displaystyle \mathrm {R} }$, on a pour l’angle ${\displaystyle \alpha }$ des asymptotes

et cet angle est sensiblement l’angle de déviation des rayons lumineux. Ceci trouve son application dans le cas d’un rayon lumineux venant d’une étoile et rasant le bord du Soleil. Il est naturel d’admettre que le sommet est à la surface du Soleil ; ${\displaystyle \mathrm {R} }$ étant alors le rayon solaire et ${\displaystyle m}$ étant égal à ${\displaystyle {4\pi ^{2}{\frac {a^{3}}{c^{2}\mathrm {T} ^{2}}}}}$ (${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \mathrm {T} }$ correspondent à la Terre), la valeur de ${\displaystyle \alpha }$ est égale à 1″,75. Le rayon lumineux est donc dévié de cet angle.

Les étoiles ne pouvant être observées près du Soleil, il faut chercher à profiter d’une éclipse totale de cet astre pour observer cette déviation. C’est ce qui a été fait avec succès dans l’expédition organisée par l’éminent astronome anglais M. Eddington pour observer l’éclipse de Soleil du 29 mai 1919. L’accord avec la théorie semble s’être montré satisfaisant, mais il est à souhaiter qu’une éclipse prochaine confirme ces mesures délicates. On doit désirer aussi que l’action de la matière sur la lumière puisse être mise en évidence dans des conditions plus facilement observables.

20.Une dernière application de la théorie de la relativité à l’astronomie concerne le déplacement vers le rouge des raies du spectre solaire par rapport à celles des sources terrestres, sous l’action du champ de gravitation provenant du Soleil. Les considérations faisant prévoir ce déplacement peuvent être présentées de la manière suivante :

Plaçons-nous en un point donné ${\displaystyle {(r,\theta ,\psi ,t)}}$ de l’Univers correspondant à (8). D’après ce que nous avons dit (§ 14), on doit identifier (8) avec le carré

de l’élément de l’espace euclidien, où ${\displaystyle \mathrm {T} }$ désignera le temps dans l’Univers euclidien tangent. On obtient ainsi immédiatement

Considérons alors un atome vibrant placé au point considéré. Si ${\displaystyle t_{0}}$ et ${\displaystyle \mathrm {T} _{0}}$ sont les deux durées des vibrations correspondant respectivement à un point de (8) à la distance ${\displaystyle r_{0}}$ du Soleil et à l’Univers tangent, on aura

Or on admet, ce qui peut être contesté (c’est à cette difficulté que nous faisions allusion à la fin du paragraphe 14), que ${\displaystyle \mathrm {T} _{0}}$ est fixe ; ceci revient à supposer qu’il y a chute libre dans l’Univers tangent. Par suite, pour deux points situés à des distances ${\displaystyle r_{0}}$ et ${\displaystyle r_{0}'}$, on a, entre les temps ${\displaystyle t_{0}}$ et ${\displaystyle t_{0}'}$, la relation

Si le second point est sur la Terre, on peut regarder ${\displaystyle r_{0}'}$ comme infini, et en se bornant à la première puissance de ${\displaystyle r_{0}}$, on peut écrire pour un point sur le Soleil

où ${\displaystyle r_{0}}$ représente le rayon solaire.

La durée de la vibration ${\displaystyle t_{0}}$ pour l’observateur sur le Soleil est donc plus grande que la durée ${\displaystyle t_{0}'}$ pour l’observateur sur la Terre. Il doit donc y avoir une déviation vers le rouge. En passant aux nombres, on a

On attachait une grande importance à la vérification expérimentale de ce résultat, sans doute parce qu’il paraît tenir à des propriétés intimes de la matière. Mais cette vérification était difficile, car au déplacement prévu par Einstein peut s’ajouter un déplacement des raies par la pression, sur l’importance duquel on n’est pas fixé. Toutefois, M. Perot croit avoir établi que pour certaines raies du magnésium l’effet de pression est négligeable, et que l’écart entre les raies du spectre solaire et celles de l’arc sous faible pression a la valeur prévue par la théorie d’Einstein. D’autre part, MM. Fabry et Buisson, en examinant d’anciennes mesures faites par eux à une époque où l’on ne soupçonnait pas l’influence de la gravitation, ont constaté que leurs résultats étaient en concordance parfaite avec la théorie de la relativité. Pour les raies du fer qu’ils ont examinées, comme pour celles du magnésium étudiées par M. Perot, la pression de la couche renversante serait négligeable, et l’effet Einstein serait seul en cause. Mais il est sans doute prudent d’apporter encore quelque réserve dans cette affirmation.