SECTION VIII.  De la réduction des Plans de grand en petit, & de petit en grand. Pl. 6.

LA meilleure & la plus juste méthode de réduire un plan de grand en petit ou de petit en grand, est sans contredit par l’angle de réduction. Voici comme il se fait, en cas que quelqu’un ne soit pas au fait de cet angle.

Si l’on veut réduire un grand plan en petit, portez sur une ligne AB, (Fig. 1.) tel nombre de toises qu’il vous plaira de l’échelle Y du grand plan, comme 200 toises, puis du point B, comme centre, & de l’intervalle des 200 toises décrivez l’arc ADC indéterminé en C, ensuite du point A & de l’intervalle de 200 toises prises sur l’échelle Z sur laquelle doit être le petit plan, faites sur l’arc ADC la section C, & tirez la ligne BC, vous aurez l’angle ABC, avec lequel vous réduirez le grand plan sur la petite échelle que vous aurez déterminée.

Si au contraire vous voulez réduire un petit plan sur une plus grande échelle, portez sur ab, (Fig. 2.) tel nombre de toises qu’il vous plaira de l’échelle Z du petit plan, comme 200 toises ; puis du point b ; comme centre, & de l’intervalle des 200 toises décrivez l’arc adc, qui doit être toujours moindre que la demi-circonférence du cercle, pour les raisons que nous dirons dans le second article du Nota ci après ; ensuite du point a & de l’intervalle de 200 toises prises sur l’échelle Y, que vous aurez déterminé pour faire le plan plus grand, faites sur l’arc adc la section c, & tirez la ligne bc, vous aurez l’angle ab c, avec lequel vous réduirez le petit plan sur la grande échelle que vous vous serez proposée.

On suppose à présent qu’il faille réduire le plan EFGHI, & c. (fig. 3.) sur la petite échelle Z, je marque un point à volonté, à peu près dans le milieu du plan, comme S, duquel j’imagine ou je tire des rayons à tous les angles de la figure.

Je marque de même sur le papier où je dois faire le petit plan, (fig. 4.) un points, puis je prens avec le compas la distance SH ; de cette ouverture de compas & du point B, comme centre, (fig. 1) je décris sur l’angle de réduction un arc qui coupe les deux jambes AB, BC, & la corde de cet angle donne la ligne sh du petit plan e f g h i, & c. que je mets légerement au crayon ; ensuite du point S, (fig. 3.) je prens avec le compas la distance SI, & de cette ouverture de compas & du point B, comme centre (fig. 1.) je décris un arc qui coupe de même que le premier les deux jambes de l’angle ABC, puis le compas ouvert de la corde de cet arc, & du point s, (fig. 4.) comme centre, je fais un petit arc en i ; ensuite du point B & de l’intervalle HI je décris un arc qui coupe encore les deux jambes BA, BC ; & le compas ouvert de la corde de cet arc, & du point h, je fais une section qui coupe le petit arc, ce qui détermine le point i.

On continue de faire les mêmes opérations pour avoir les autres points k, l, m, n, o, & c. du plan proposé, (Fig. 4.)

Si au contraire on propose de réduire le petit plan ef g h i, & c. sur la grande échelle Y, on opérera comme nous avons fait, en se servant de l’angle de réduction bac, (fig. 2.) & on aura de même le plan EFGHI, & c. (fig. 3.)

Mais comme cette réduction est fort longue, par le grand nombre d’opérations qu’il faut faire, puisqu’il en faut quatre pour la position de chaque figure, si le plan à réduire n’est qu’un brouillon, dont les lignes sont suivant les mesures, ou bien si l’on veut sacrifier le plan, on pourra le réduire avec beaucoup moins de peine & de tems, en tirant du point S, pris à volonté, dans le plan, comme nous l’avons dit ci-devant, des lignes à tous les angles de la figure EFGHI, &c. & en réduisant tous ces rayons par l’angle de réduction ABC, (fig. 1.) on aura le petit plan dans le grand, ce qui épargnera la moitié des opérations ci-devant.

Si au contraire on veut réduire le petit plan en grand, on prolongera les rayons de ce plan, en réduisant de même ces rayons de petit en grand, par l’angle de réduction abc, (fig. 2.) on trouvera sur leur prolongement le grand plan EFGHI, & c. qui sera par conséquent circonscrit au petit, ce qui coutera encore la moitié moins d’opérations que lorsqu’il faut réduire le plan sur une autre feuille de papier.

On réduira de même par l’angle de réduction les isles des maisons, ce qui donnera aussi les rues dans leur réduction.

A l’égard du paysage des environs de la place, on le réduira par les carreaux, en observant d’orienter chaque plan dans son quadre de la même façon : chaque côté de l’un & de l’autre plan doit avoir le même nombre de toises, selon leur échelle.

Nota 1^o. Que par le moyen de l’angle de réduction on pourra remettre sur des échelles qui auront rapport au pied de Roi les plans qui sont sur des échelles faites au hazard.

2^o. Que lorsqu’on veut réduire de petit en grand, il faut que l’échelle que l’on détermine pour le grand plan soit moins que le double de celle du petit plan ; car si elle en étoit le double ou encore plus grande on ne pourroit pas former l’angle abc, par la 20^e propos d’Euclide.

3^o. Il n’en est pas de même lorsqu’on ré duit de grand en petit, il n’y a nul inconvé nient, & le plan que l’on trouve par la réduction est plus juste que lorsqu’on réduit de petit en grand.

4^o. Que pour ne se point brouiller dans la réduction des plans où le nombre des piéces de fortification est grand, il faut garder un certain ordre, comme de réduire tout de suite tous les rayons de la place, comme SE, SG, & c. puis ceux des demi-lunes du même corps de la place, & ensuite ceux des autres ouvrages qui entourent cette place.

5^o5^o. Qu’il sera mieux de tracer l’angle de réduction sur une ardoise que sur toute autre matiere, comme sur du velin, ou encore moins sur du papier, parce que les centres B & b qui reçoivent si souvent la pointe du compas, s’élargissent aisément sur ces deux matieres, ce qui n’arrive pas sur l’ardoise ; de plus l’on voit mieux sur cette derniere les positions de cercle, c’est-à dire les arcs que l’on y trace ; & au défaut de l’ardoise, le velin est à préférer au papier.

6^o. Que lorsque l’ardoise est fort pleine de traits, on les efface avec du charbon noir.

Présentement on propose de réduire un plan à la moitié juste. Pour y parvenir, faites un quarré qui ait pour côté un certain nombre de parties de l’échelle du plan que l’on veut réduire, comme 300 plus ou moins, selon qu’on jugera à propos, & la moitié de la diagonale de ce quarré sera l’échelle du plan, qui doit être la moitié de celui qui est proposé à réduire, & cette échelle contiendra le même nombre de parties que la grande, c’est-à-dire 300, mais elles seront plus petites.

Si au contraire l’on vouloit que le plan fût double de celui que l’on veut réduire il faudroit prendre la diagonale entiere. pour l’échelle du plan à faire, & cette échelle ne contiendroit toujours que 300 parties, comme la petite.

Pour réduire un plan au tiers, il faut faire ab (pl. 6. fig. 5) d’un certain nombre de parties de l’échelle du plan à réduire, tel que vous voudrez, comme 300 ; ensuite faire un demi-cercle sur cette ligne ab, puis la diviser en trois, parties égales ac, cd, & db. De l’une de ces divisions, comme c, élever une perpendiculaire qui coupera le demi-cercle en e, & des points a & e tirer la ligne ae, qui sera l’échelle du plan proposé, laquelle échelle contiendra 300 parties comme la grande.

Si au contraire il falloir faire un plan triple d’un autre, faites un quarré a e f g (même fig..) dont un des côtés soit tel nombre de parties que vous voudrez, comme 300 de l’échelle du plan que l’on veut tripler. Prolongez un des côtés du quarré, comme se, indéfini en b, faites eb égale à la diagonale ag, & tirez la ligne ab, qui sera l’échelle d’un plan trois fois plus grand que le proposé. Si on prend pour échelle la ligne e b, on aura un plan qui sera les deux tiers de celui qui sera fait sur la ligne ab.

Pour réduire un plan au quart, il ne faut que diviser en deux parties égales l’échelle du plan proposé, & l’une des deux moitiés sera l’échelle du plan, qui ne doit être que le quart du proposé à réduire, & cette moitié d’échelle contiendra le même nombre de parties que l’échelle entiere.

Si au contraire il falloit faire un plan qui fût quatre fois plus grand qu’un autre, il ne faudroit que doubler l’échelle du plan proposé à quadrupler, & cette échelle une fois plus grande ne contiendroit toujours que le même nombre de parties de celles du plan proposé.

Toutes ces pratiques sont fondées sur la 47^e du premier livre d’Euclide.

Comme la maniere de réduire les plans de grand en petit & de petit en grand, par l’angle de réduction, est très-longue dans ses opérations, j’ai cherché en vain pendant quelques années s’il n’y auroit point une méthode plus expéditive, & qui fût en même tems géométrique & non tatonneuse ; & après un an d’intervalle m’étant remis à chercher, j’ai enfin imaginé depuis peu un instrument fort simple dans sa construction, & très-expéditif dans ses opérations, & assez universel pour toutes sortes de Desseins ; mais avant que d’expliquer la maniere de s’en servir, il convient d’en donner la construction : la voici.

Cet instrument, (pl. 24. fig. 1.) est composé d’une grande régle AB, que je nomme Régle de base, de six autres régles C, D, E, F, G, H, que j’appelle Régles mouvantes, & de sept coulans a, b, c, d, e, f, g, faisant charniere avec le bout des régles E, F, G, H. Toutes ces régles & ces coulans doivent être de laiton bien battu au marteau, pour le rendre ferme & dur.

La grande régle A B doit avoir environ trente pouces de longueur, afin qu’elle puisse servir à d’assez grands desseins, sur neuf lignes de largeur & une ligne d’épaisseur au plus.

La régle C aura dix-huit pouces de longueur sur six lignes de largeur, & une demi-ligne d’épaisseur au plus.

La régle D aura treize pouces de longueur sur la même largeur & épaisseur que la régle C.

Les deux régles E & F doivent avoir quatorze pouces chacune de longueur sur six lignes de largeur, & une demi-ligne d’épaisseur au plus.

Les deux autres régles G & H auront vingt pouces chacune de longueur sur la même largeur & épaisseur que les deux précédentes.

Chaque bout des quatre régles E, F, G, H, formera un cercle d’un pouce de diamétre, & l’un des côtés de chacune de ces régles passera par le centre du cercle, comme il est évident par les fig. 2. 3. 4. 5.

Chaque coulant a, b, c, d, sera composé de deux lames d’un pouce de largeur chacune, sur une demi-ligne dé’epaisseur, & de deux petites pièces de trois lignes de largeur chacune sur une demi-ligne d’épaisseur, qui est celle des régles. Ces petites piéces que l’on a ponctuées, comme il paroît par les fig 6 & 8, seront placées entre les deux lames espacées de la largeur des régles, c’est-à-dire de six lignes, & rivées chacune en deux endroits, comme il paroît par les mêmes fig. 6. & 8.

Les deux coulans e & g seront aussi composés de deux lames de même largeur & épaisseur que les quatre ci-devant ; mais une des lames de chacun de ces deux coulans sera de deux piéces, comme il est aisé de voir par le profil, (fig. 10.) & comme la régle AB a une ligne d’épaisseur, l’une des petites piéces ponctuées sur les fig. 6. & 8. aura aussi une ligne d’épaisseur sur toujours trois lignes de largeur, & celle du côté de la charniere. n’aura qu’une demi-ligne d’épaisseur, qui avec une des deux demi-lames feront ensemble l’épaisseur de la régle AB, & les lames de chaque coulant seront attachées avec leurs petites pièces par quatre rivures, comme l’on peut voir par les fig. 6. & 8,

Enfin le coulant f sera composé comme les autres de deux lames d’un pouce de largeur sur une demi-ligne d’épaisseur, & de deux petites pièces de trois lignes de largeur sur une ligne d’épaisseur, qui est celle de la régle AB, ainsi que celle des deux bouts l’un sur l’autre des régles F & G, comme il est aisé de voir par le profil, fig. 9.

Il reste à dire pour la construction de cet instrument, que les deux régles E & F (fig. 1.) étant de même longueur, comme il paroît par les fig. 2. & 3. doivent être limées, dressées & percées ensemble l’une sur l’autre pour plus grande justesse ; & pour cela il est nécessaire de tenir ces régles fermes avec un petit étau à main à chaque bout), afin qu’elles ne puissent point varier de la moindre chose, sur tout pour en forcer l’endroit qui doit faire charniere. Il est bon que ce trou soit au moins de deux lignes de diamétre, afin qu’en rivant les clous il se refoule perpendiculairement & non obliquement, & qu’on y puisse marquer le centre du cercle,

On fera la même chose pour les deux autres régles G & H, (fig. 2.) étant de même égales entr’elles, comme il paroît aussi par les fig. 4. & b.

Après que ces régles seront percées aux deux bouts, comme il paroît par les fig. 2, 3. 4. & b. on y mettra à force une cheville de bois que l’on rasera pour y marquer le centre du trou de chaque bout ; ensuite on tracera d’un centre à l’autre une ligne, qui sera le côté de dedans de la régle, lequel côté doit être dressé & limé le premier, puis on dressera l’autre côté en tenant toujours les régles ensemble l’une sur l’autre avec les deux petits étaux à main, quoique l’on mette l’ouvrage dans le grand étau pour le limer.

On agira de même pour les lames & pour les petites pièces des coulans, je veux dire qu’on les percera & dressera ensemble l’une sur l’autre pour plus grande justesse.

On observera que les coulans soient justes à leurs régles ; & afin de les tenir fixes au point où on les aura mis pour opérer, on fichera un petit morceau de plume en forme de coin entre ces coulans & leurs régles, soit sur le côté ou sur le plat de la régle ; car je me persuade que ces coulans ne sçauroient être si justes qu’on n’y puisse bien introduire quelque chose de mince d’une matiere solide.

Nota. Que l’instruction que nous venons de donner pour la construction de l’instrument en question n’est point pour ceux qui font les instrumens de Mathématiques, parce qu’ils sont au fait du travail de ces sortes d’ouvrages, mais bien pour les ouvriers de province qui ne sont pas dans l’usage d’y travailler.

Maniere de monter & d’ajuster l’Instrment, & de s’en servir. pl. 24.

On suppose que l’on veut réduire un grand plan en un plus petit. Il faut 1^o. joindre ensemble par le côté, comme la fig. 1, le fait voir, le plan à réduire & le papier sur lequel on veut avoir le plan réduit, en les co-lant légerement sur leur bord en trois ou quatre endroits seulement, ou bien en les attachant avec des épingles minces, comme celles à faire la dentelle, afin de ne point gâter le plan à réduire.

2^o. Arrêter sur la régle AB les deux coulans e & f à la distance de la largeur du grand plan à réduire, ensorte que le nombre des parties de l’échelle de ce plan que contiendra la ligne ponctuée h, soit sans fraction ; arrêter de même sur la régle C les deux coulans c & d à la même distance, pour avoir le parallelogramme E F h l.

3^o. Arrêter aussi sur la régle AB le coulant g, ensorte que la ligne ponctuée k contienne le même nombre de parties de l’échelle sur laquelle on voudra le petit plan, que la ligne ponctuée h en contient de l’échelle du plan à réduire, & enfin arrêter de même sur la régle D les deux coulans a & b à la même distance, pour avoir le parallelogramme G HiK.

4^o. Les régles étant ainsi disposées suivant les échelles du grand & du petit plan, on posera l’instrument sur ces deux plans, ensorte que la régle AB soit sur le bord d’en bas des plans, & le coulant f sur la ligne qui sépare le grand plan du petit, comme il est aisé de le voir par la fig. 1. ensuite on arrêtera cette régle AB avec deux pointes qui passeront à travers la régle, les plans & le carton qui sera dessous ces plans, afin qu’elle ne varie point pendant les opérations.

5^o. Enfin pour avoir tous les points nécessaires du grand plan sur le petit, comme par exemple le point M qui est marque par l’intersection des deux régles E & G, on fera marcher le parallelogramme E F h l, jusqu’à ce que la régle E soit sur le point M ; ensuite on coulera le parallelogramme E F h l, jusqu’à ce que la régle G soit arrivée au point M, alors l’intersection des deux régles F & H donnera le point m sur le petit plan. Agissant de même pour tous les autres points du plan à réduire, on aura le même point sur le plan que l’on désire.

Nota 1^o. Qu’il sera mieux de faire glisser le parallelogramgramme GHik sur le parallelogramme E F h l ; pour cela il faut mettre la régle F sous la régle G dans la charniere du coulant s.

2^o. Que si la régle AB n’étoit pas assez longue pour le grand & le petit plan, étant joints ensemble à côté l’un de l’autre, il faudroit les joindre par leur plus grand côté, comme nous l’avons fait dans le Dessein, (fig. 1.)

3^o. Et si l’instrument se trouvoit trop court pour atteindre dans toute la hauteur du plan, après que l’on auroit fait toutes les opérations qu’on en auroit pû tirer, on remonteroit l’instrument bien parallelement à la premiere base qu’on lui auroit établi, afin de pouvoir achever le plan.

4^o. Qu’il est mieux de tourner le côté des régles qui passe par le centre des cercles de leurs bouts du côté du jour, pour voir plus aisément par leur intersection le point que l’on desire ; car il est bien certain que si les régles étoient tournées au contraire, l’ombre de leur épaisseur empêcheroit de voir librement le point d’intersection.

5^o. On pourra faire un biseau ou chanfrein sur l’arrête d’un des côtés des régles G & H, (fig. 1 ou fig. 4 & 5.) ; ce côté est celui qui passe par le centre des cercles qui sont aux bouts des régles, afin que n’y ayant que l’épaisseur d’une des régles qui se croisent, l’on puisse voir avec plus de facilité le point trouvé par l’intersection de ces régles. Il faut bien prendre garde de se méprendre, c’est aux deux régles qui coulent sur les deux autres qu’il faut faire le biseau.

6^o. Et qu’enfin l’on pourra faire un étui à cet instrument, qui aura trente pouces de longueur sur un pouce de largeur dans œuvre, & sur la profondeur qui sera nécessaire pour loger les sept régles l’une sur l’autre : à l’égard des coulans, ils trouveront leur place au bout des régles qui seront les moins longues.

REMARQUE.

Quoique la réduction des plans ne paroisse pas convenir ici, puisqu’elle dépend plutôt de la Géométrie que du Dessein, nous avons cependant jugé à propos d’en parler parce que tous ceux qui se mêlent de dessiner ne sont pas toujours Géométres.