XXIII. — Extension des méthodes du Calcul des variations. — Sur les problèmes futurs des mathématiques

Table des matières XXII. — Relations analytiques exprimées d’une manière uniformes au moyen de fonctions automorphes.Chapitre 25 / 25

XXIII. — Extension des méthodes du Calcul des variations.

Jusqu’ici je n’ai cité, autant que possible, que des problèmes déterminés et particuliers, car je pense que ce sont précisément les problèmes déterminés et particuliers qui nous attirent le plus et qui ont l’influence la plus immédiate sur l’ensemble de la Science. Je vais néanmoins terminer cette Conférence par un problème général, problème ayant trait à une discipline que j’ai déjà plusieurs fois mentionnée ; cette discipline, malgré les progrès considérables que lui a fait faire Weierstrass, il n’y a pas bien longtemps, n’est cependant pas encore, selon moi, appréciée par les mathématiciens à sa juste valeur. C’est du Calcul des variations^[54] que je parle. Le peu de progrès de cette discipline tient peut-être à ce que l’on manquait jusqu’ici de livres écrits au point de vue moderne sur ce sujet. On en doit d’autant plus de remercîments à M. A. Kneser, dont nous venons de citer le Livre en note. Ce traité de Calcul des variations est rédigé d’après les points de vue les plus nouveaux, et l’Auteur y a toujours eu égard à la parfaite rigueur exigée aujourd’hui.

Le Calcul des variations, au sens le plus large, est l’étude de la variation des fonctions et nous apparaît, à ce point de vue, comme une continuation nécessaire du Calcul différentiel et intégral. À ce point de vue, les recherches de M. Poincaré sur le Problème des trois corps, par exemple, forment un Chapitre du Calcul des variations, en ce sens que M. Poincaré, au moyen du principe des variations, déduit d’orbites connues, ayant certaines propriétés, de nouvelles orbites jouissant de propriétés semblables.

Aux remarques générales, faites au début de cette Conférence sur le Calcul des variations, je vais ajouter ici une rapide exposition de ce qui faisait l’objet de ces remarques.

Le problème le plus simple du Calcul des variations proprement dit consiste, comme on sait, à trouver une fonction $y$ $y$ de la variable $x$ $x$ , telle que l’intégrale définie

\mathrm {J} =\int _{a}^{b}\mathrm {F} (y_{x},y\,;\,x)\,dx\qquad \left(y_{x}={\frac {dy}{dx}}\right)

\mathrm {J} =\int _{a}^{b}\mathrm {F} (y_{x},y\,;\,x)\,dx\qquad \left(y_{x}={\frac {dy}{dx}}\right)

prenne la plus petite valeur de toutes celles que prend ladite intégrale quand on y remplace $y$ $y$ par d’autres fonctions de $x$ $x$ en conservant les mêmes valeurs initiales et finales données dans l’intégrale définie. On sait que, dans l’interprétation habituelle, l’évanouissement de la variation première

\delta \mathrm {J} =0

\delta \mathrm {J} =0

fournit, pour obtenir la fonction $y$ $y$ cherchée, l’équation différentielle bien connue du second ordre

(1)

{\frac {d\mathrm {F} _{y_{x}}}{dx}}-\mathrm {F} _{y}=0\qquad \left(\mathrm {F} _{y_{x}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y_{x}}},\quad \mathrm {F} _{y}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y}}\right)\cdot

{\frac {d\mathrm {F} _{y_{x}}}{dx}}-\mathrm {F} _{y}=0\qquad \left(\mathrm {F} _{y_{x}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y_{x}}},\quad \mathrm {F} _{y}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y}}\right)\cdot

Maintenant, pour approfondir les conditions nécessaires et suffisantes à l’existence du minimum cherché, considérons l’intégrale

\mathrm {J} ^{\ast }=\int _{a}^{b}\left[\,\mathrm {F} +(y_{x}-p)\mathrm {F} _{p}\right]\,dx

\mathrm {J} ^{\ast }=\int _{a}^{b}\left[\,\mathrm {F} +(y_{x}-p)\mathrm {F} _{p}\right]\,dx

\left[\,\mathrm {F} =\mathrm {F} (p,y\,;\,x),\qquad \mathrm {F} _{p}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,y\,;\,x)}{\partial p}}\right]

\left[\,\mathrm {F} =\mathrm {F} (p,y\,;\,x),\qquad \mathrm {F} _{p}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,y\,;\,x)}{\partial p}}\right]

et cherchons comment nous devons choisir $p$ $p$ comme fonction de $x,y$ $x,y$ , afin que la valeur de $\mathrm {J} ^{\ast }$ $\mathrm {J} ^{\ast }$ soit indépendante du chemin d’intégration, c’est-à-dire du choix de la fonction $y$ $y$ de la variable $x$ $x$ . L’intégrale $\mathrm {J} ^{\ast }$ $\mathrm {J} ^{\ast }$ a la forme

\mathrm {J} ^{\ast }=\int _{a}^{b}(\mathrm {A} y_{x}-\mathrm {B} )\,dx

\mathrm {J} ^{\ast }=\int _{a}^{b}(\mathrm {A} y_{x}-\mathrm {B} )\,dx

où $\mathrm {A}$ $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ $\mathrm {B}$ ne renferment pas $y_{x}$ $y_{x}$ , et l’évanouissement de la variation première

\delta \mathrm {J} ^{\ast }=0

\delta \mathrm {J} ^{\ast }=0

interprétée ainsi que l’exige la nouvelle manière de poser la question, fournit l’équation

{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial y}}=0

{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial y}}=0

c’est-à-dire que, pour la fonction $p$ $p$ des deux variables $x,y$ $x,y$ , nous avons l’équation aux dérivées partielles du premier ordre

(1^∗)

{\frac {\partial \mathrm {F} _{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial (p\mathrm {F} _{p}-\mathrm {F} )}{\partial y}}=0

{\frac {\partial \mathrm {F} _{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial (p\mathrm {F} _{p}-\mathrm {F} )}{\partial y}}=0

L’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) et l’équation aux dérivées partielles (1^∗) que nous venons de trouver ont entre elles un rapport intime. C’est ce que nous fait voir de suite clairement la transformation simple

{\begin{aligned}\delta \mathrm {J} ^{\ast }&=\int _{a}^{b}[\,\mathrm {F} _{y}\,\delta y+\mathrm {F} _{p}\,\delta p+(\delta y_{x}-\delta p)\mathrm {F} _{p}+(y_{x}-p)\,\delta \mathrm {F} _{p}]\,dx\\&=\int _{a}^{b}[\,\mathrm {F} _{y}\,\delta y+\delta y_{x}\mathrm {F} _{p}+(y_{x}-p)\,\delta \mathrm {F} _{p}]\,dx\\&=\delta \mathrm {J} +\int _{a}^{b}(y_{x}-p)\,\delta \mathrm {F} _{p}\,dx{\text{.}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\delta \mathrm {J} ^{\ast }&=\int _{a}^{b}[\,\mathrm {F} _{y}\,\delta y+\mathrm {F} _{p}\,\delta p+(\delta y_{x}-\delta p)\mathrm {F} _{p}+(y_{x}-p)\,\delta \mathrm {F} _{p}]\,dx\\&=\int _{a}^{b}[\,\mathrm {F} _{y}\,\delta y+\delta y_{x}\mathrm {F} _{p}+(y_{x}-p)\,\delta \mathrm {F} _{p}]\,dx\\&=\delta \mathrm {J} +\int _{a}^{b}(y_{x}-p)\,\delta \mathrm {F} _{p}\,dx{\text{.}}\end{aligned}}

De cette formule nous concluons les faits suivants : Si nous considérons une famille quelconque simple de courbes intégrales de l’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) et si nous formons alors une équation différentielle ordinaire du premier ordre

(2)

y_{x}=p(x,y)

y_{x}=p(x,y)

qui admette également comme solutions ces courbes intégrales, la fonction ${p(x,y)}$ ${p(x,y)}$ sera toujours aussi une intégrale de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1^∗) ; et réciproquement, si l’on désigne par ${p(x,y)}$ ${p(x,y)}$ une solution quelconque de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1^∗), toutes les intégrales non singulières de l’équation différentielle ordinaire du premier ordre (2) seront également intégrales de l’équation différentielle du second ordre (1).

En abrégeant le langage, on peut dire : Si ${y_{x}=p(x,y)}$ ${y_{x}=p(x,y)}$ est une équation intégrale du premier ordre de l’équation différentielle du second ordre (1), ${p(x,y)}$ ${p(x,y)}$ représentera une intégrale de l’équation aux dérivées partielles (1^∗) et réciproquement ; les courbes intégrales de l’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) sont, par conséquent, aussi les caractéristiques de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1^∗).

Dans le cas précédent nous trouvons aussi le même résultat au moyen d’un calcul facile ; ce calcul nous fournit respectivement les équations en question (1) et (1^∗) sous la forme

(1)

y_{xx}\mathrm {F} _{y_{x}y_{x}}+y_{x}\mathrm {F} _{y_{x}y}+\mathrm {F} _{y_{x}x}-\mathrm {F} _{y}=0

y_{xx}\mathrm {F} _{y_{x}y_{x}}+y_{x}\mathrm {F} _{y_{x}y}+\mathrm {F} _{y_{x}x}-\mathrm {F} _{y}=0

(1^∗)

(p_{x}+pp_{y})\mathrm {F} _{pp}+p\mathrm {F} _{py}+\mathrm {F} _{px}-\mathrm {F} _{y}=0

(p_{x}+pp_{y})\mathrm {F} _{pp}+p\mathrm {F} _{py}+\mathrm {F} _{px}-\mathrm {F} _{y}=0

où les indices inférieurs, d’après une notation facile à interpréter, désignent les dérivées partielles prises par rapport à $x,$ $x,$ $y,$ $y,$ $p,$ $p,$ $y_{x}$ $y_{x}$ . Ces formules permettent de reconnaître aisément l’exactitude de la relation dont il était question.

L’étroite relation que nous venons d’exposer et de démontrer entre l’équation différentielle ordinaire du second ordre (1) et l’équation aux dérivées partielles du premier ordre (1^∗) est, ce me semble, d’une importance capitale au point de vue des principes fondamentaux du Calcul des variations. En effet, la valeur de l’intégrale $\mathrm {J} ^{\ast }$ $\mathrm {J} ^{\ast }$ étant indépendante du chemin d’intégration, on aura

(3)

\int _{a}^{b}[\mathrm {F} (p)+(\mathrm {J} _{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p)]\,dx=\int _{a}^{b}\mathrm {F} ({\overline {y_{x}}})\,dx{\text{,}}

\int _{a}^{b}[\mathrm {F} (p)+(\mathrm {J} _{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p)]\,dx=\int _{a}^{b}\mathrm {F} ({\overline {y_{x}}})\,dx{\text{,}}

où dans le premier membre l’intégrale est prise le long d’un chemin $y$ $y$ quelconque, tandis que l’on supposera l’intégrale du second membre prise le long d’une courbe intégrale ${\overline {y}}$ ${\overline {y}}$ de l’équation différentielle

{\overline {y_{x}}}=p(x,{\overline {y}})

{\overline {y_{x}}}=p(x,{\overline {y}})

À l’aide de l’équation (3) nous parvenons à la formule de Weierstrass

(4)

\int _{a}^{b}\mathrm {F} (y_{x})\,dx-\int _{a}^{b}\mathrm {F} ({\overline {y_{x}}})\,dx=\int _{a}^{b}\mathrm {E} (y_{x},p)\,dx{\text{,}}

\int _{a}^{b}\mathrm {F} (y_{x})\,dx-\int _{a}^{b}\mathrm {F} ({\overline {y_{x}}})\,dx=\int _{a}^{b}\mathrm {E} (y_{x},p)\,dx{\text{,}}

où $\mathrm {E}$ $\mathrm {E}$ désigne l’expression de Weierstrass

\mathrm {E} (y_{x},p)=\mathrm {F} (y_{x})-\mathrm {F} (p)-(y_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p){\text{,}}

\mathrm {E} (y_{x},p)=\mathrm {F} (y_{x})-\mathrm {F} (p)-(y_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p){\text{,}}

dépendant des quatre arguments $y_{x},$ $y_{x},$ $p,$ $p,$ $y,$ $y,$ $x$ $x$ . Comme, d’après cela, tout revient uniquement à border la courbe intégrale ${\overline {y}}$ ${\overline {y}}$ en question, dans le plan des $x,y$ $x,y$ , d’une manière continue et univoque, avec des valeurs d’une fonction intégrale correspondante ${p(x,y)}$ ${p(x,y)}$ , les développements indiqués conduisent évidemment, et cela sans introduire la considération de la variation seconde et en effectuant simplement l’opération polaire^[55] sur l’équation différentielle (1), à l’établissement de la condition de Jacobi, et fournissent la réponse à la question de savoir jusqu’à quel point la condition de Jacobi, jointe à la condition ${\mathrm {E} >0}$ ${\mathrm {E} >0}$ de Weierstrass, est nécessaire et suffisante pour qu’il existe un minimum.

Les développements indiqués peuvent, sans autre calcul, s’étendre au cas de deux ou un plus grand nombre de fonctions cherchées, ainsi qu’au cas d’une intégrale double ou multiple. Ainsi, dans le cas d’une intégrale double

\mathrm {J} =\int \mathrm {F} (z_{x},z_{y},z,x,y)\,d\omega \qquad \left(z_{x}={\frac {\partial z}{\partial x}},\quad z_{y}={\frac {\partial z}{\partial y}}\right){\text{,}}

\mathrm {J} =\int \mathrm {F} (z_{x},z_{y},z,x,y)\,d\omega \qquad \left(z_{x}={\frac {\partial z}{\partial x}},\quad z_{y}={\frac {\partial z}{\partial y}}\right){\text{,}}

étendue à une région donnée $\omega$ $\omega$ , l’évanouissement

\delta \mathrm {J} =0

\delta \mathrm {J} =0

de la variation première, interprétée dans le sens habituel, fournit, pour la fonction $z$ $z$ cherchée de $x,y$ $x,y$ , l’équation différentielle du second ordre bien connue

(I)

{\frac {\partial \mathrm {F} _{z_{x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{z_{y}}}{\partial y}}-\mathrm {F} _{z}=0

{\frac {\partial \mathrm {F} _{z_{x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{z_{y}}}{\partial y}}-\mathrm {F} _{z}=0

\left(\mathrm {F} _{z_{x}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z_{x}}},\quad \mathrm {F} _{z_{y}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z_{y}}},\quad \mathrm {F} _{z}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z}}\right)\cdot

\left(\mathrm {F} _{z_{x}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z_{x}}},\quad \mathrm {F} _{z_{y}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z_{y}}},\quad \mathrm {F} _{z}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial z}}\right)\cdot

D’autre part, considérons l’intégrale

\mathrm {J} ^{\ast }=\int [\mathrm {F} +(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}+(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}]\,d\omega

\mathrm {J} ^{\ast }=\int [\mathrm {F} +(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}+(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}]\,d\omega

\left[\mathrm {F} =\mathrm {F} (p,q,z\,;\,x,y),\;\mathrm {F} _{p}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,q,z,x,y)}{\partial p}},\;\mathrm {F} _{q}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,q,z,x,y)}{\partial q}}\right]{\text{,}}

\left[\mathrm {F} =\mathrm {F} (p,q,z\,;\,x,y),\;\mathrm {F} _{p}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,q,z,x,y)}{\partial p}},\;\mathrm {F} _{q}={\frac {\partial \mathrm {F} (p,q,z,x,y)}{\partial q}}\right]{\text{,}}

et demandons-nous comment nous devons prendre $p$ $p$ et $q$ $q$ comme fonctions de $x,y,z$ $x,y,z$ , de manière que la valeur de $\mathrm {J} ^{\ast }$ $\mathrm {J} ^{\ast }$ soit indépendante du choix de la surface passant par la courbe gauche fermée donnée, c’est-à-dire indépendante du choix de la fonction $z$ $z$ des variables $x,y$ $x,y$ .

L’intégrale $\mathrm {J} ^{\ast }$ $\mathrm {J} ^{\ast }$ a la forme

\mathrm {J} ^{\ast }=\int (\mathrm {A} z_{x}+\mathrm {B} z_{y}-\mathrm {C} )\,d\omega {\text{,}}

\mathrm {J} ^{\ast }=\int (\mathrm {A} z_{x}+\mathrm {B} z_{y}-\mathrm {C} )\,d\omega {\text{,}}

et l’évanouissement de la variation première

\delta \mathrm {J} ^{\ast }=0

\delta \mathrm {J} ^{\ast }=0

interprétée d’après le sens exigé par la nouvelle manière de poser la question, fournit l’équation

{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial z}}=0

{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {C} }{\partial z}}=0

;

c’est-à-dire que nous obtenons pour les fonctions $p$ $p$ et $q$ $q$ des trois variables $x,y,z$ $x,y,z$ l’équation différentielle du premier ordre

(I^∗)

{\frac {\partial \mathrm {F} _{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{q}}{\partial y}}+{\frac {\partial (p\mathrm {F} _{p}+q\mathrm {F} _{q}-\mathrm {F} )}{\partial z}}=0{\text{.}}

{\frac {\partial \mathrm {F} _{p}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {F} _{q}}{\partial y}}+{\frac {\partial (p\mathrm {F} _{p}+q\mathrm {F} _{q}-\mathrm {F} )}{\partial z}}=0{\text{.}}

À cette équation si nous adjoignons encore l’équation aux dérivées partielles

(I^∗)

p_{y}+qp_{x}=q_{x}+pq_{z}

p_{y}+qp_{x}=q_{x}+pq_{z}

tirée des équations

z_{x}=p(x,y,z){\text{,}}

z_{x}=p(x,y,z){\text{,}}

z_{y}=q(x,y,z){\text{,}}

z_{y}=q(x,y,z){\text{,}}

on voit que l’équation aux dérivées partielles du second ordre (I), relative à la fonction $z$ $z$ des deux variables $x,y$ $x,y$ , et le système simultané (I^∗) des deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, relatif aux deux fonctions $p,$ $p,$ $q$ $q$ des trois variables $x,y,z$ $x,y,z$ , sont dans une relation tout à fait analogue à celle qui a lieu dans le cas précédent de l’intégrale simple entre les équations différentielles (1) et (1^∗).

L’intégrale $\mathrm {J} ^{\ast }$ $\mathrm {J} ^{\ast }$ ayant une valeur indépendante du choix de la surface d’intégration, on a

\int [\mathrm {F} (p,q)-(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p,q)+(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}(p,q)]\,d\omega =\!\int \mathrm {F} ({\overline {z_{x}}},{\overline {z_{y}}})\,d\omega

\int [\mathrm {F} (p,q)-(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p,q)+(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}(p,q)]\,d\omega =\!\int \mathrm {F} ({\overline {z_{x}}},{\overline {z_{y}}})\,d\omega

où l’intégrale du second membre doit être étendue à une surface intégrale ${\overline {z}}$ ${\overline {z}}$ des équations aux dérivées partielles

{\overline {z_{x}}}=p(x,y,{\overline {z}})

{\overline {z_{x}}}=p(x,y,{\overline {z}})

{\overline {z_{y}}}=q(x,y,{\overline {z}})

{\overline {z_{y}}}=q(x,y,{\overline {z}})

;

au moyen de la précédente formule nous obtenons immédiatement la suivante

(IV)

\int \mathrm {F} (z_{x},z_{y})\,d\omega -\int \mathrm {F} ({\overline {z_{x}}},{\overline {z_{y}}})\,d\omega =\int \mathrm {E} (z_{x},z_{y},p,q)\,d\omega {\text{,}}

\int \mathrm {F} (z_{x},z_{y})\,d\omega -\int \mathrm {F} ({\overline {z_{x}}},{\overline {z_{y}}})\,d\omega =\int \mathrm {E} (z_{x},z_{y},p,q)\,d\omega {\text{,}}

où

{\begin{aligned}\mathrm {E} (z_{x},z_{y},p,q)&=\mathrm {F} (z_{x},z_{y})-\mathrm {F} (p,q)\\&\qquad -(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p,q)-(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}(p,q){\text{ ;}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}\mathrm {E} (z_{x},z_{y},p,q)&=\mathrm {F} (z_{x},z_{y})-\mathrm {F} (p,q)\\&\qquad -(z_{x}-p)\mathrm {F} _{p}(p,q)-(z_{y}-q)\mathrm {F} _{q}(p,q){\text{ ;}}\end{aligned}}

qui joue relativement à la variation de l’intégrale double un rôle tout à fait pareil à celui que joue la formule (4) précédemment établie dans le cas de l’intégrale simple ; nous avons encore par cette formule (IV) répondu à la question de savoir jusqu’à quel point la condition de Jacobi, jointe à la condition ${\mathrm {E} >0}$ ${\mathrm {E} >0}$ de Weierstrass, est nécessaire et suffisante pour qu’il existe un minimum.

Ces développements ont beaucoup de rapport avec les modifications que M. Kneser^[56], en partant d’ailleurs d’autres points de vue, a apportées à la théorie de Weierstrass. En effet, tandis que Weierstrass, pour obtenir les conditions suffisantes relatives à la valeur extrême, fait usage des courbes intégrales de l’équation (1) passant par un point fixe, M. Kneser emploie une famille quelconque simple de ces courbes, et pour chaque pareille famille il construit une solution caractéristique de l’équation aux dérivées partielles que l’on doit regarder comme la généralisation de l’équation de Jacobi et Hamilton.

Les problèmes dont j’ai parlé ne sont que des essais ; ils suffisent néanmoins à nous faire voir combien riche, multiple et étendue est la Science actuelle, et l’on est conduit ainsi à se demander si la Science mathématique ne finira pas, comme c’est depuis longtemps arrivé pour d’autres Sciences, par se partager en subdivisions séparées dont les représentants se comprendront à peine les uns les autres et dont la connexion deviendra toujours moindre. Je ne le pense ni ne l’espère ; selon moi, la Science mathématique est un entier indivisible, un organisme dont la force vitale a pour condition l’indissolubilité de ses parties. En effet, quelle que soit la diversité des matières de notre Science dans ses détails, nous n’en sommes pas moins frappés de l’équivalence des procédés logiques, de la parenté des idées dans l’ensemble de la Science ainsi que des nombreuses analogies dans ses différents domaines. Nous remarquons encore ceci : plus une théorie mathématique se développe, plus son exposition gagne en harmonie et en unité, et plus on découvre de relations entre cette théorie et les branches de la Science qui lui étaient étrangères jusque-là. C’est ainsi qu’avec l’extension des Mathématiques leur caractère d’unité ne se perd pas, mais devient, au contraire, de plus en plus évident.

Mais, nous demandons-nous encore, avec l’extension de la Science mathématique ne deviendra-t-il pas enfin impossible au chercheur individuel d’embrasser toutes les branches de la Science ? Comme réponse à cette question, je me contenterai de remarquer combien il est caractéristique de notre Science que chaque progrès effectif marche la main dans la main avec la découverte de moyens auxiliaires plus rigoureux et de méthodes plus simples qui, en même temps qu’ils facilitent la compréhension des théories antérieures et qu’ils amènent la disparition d’anciens développements inutiles, permettent de s’orienter dans toutes les branches des Mathématiques bien plus aisément que dans toute autre Science.

Le caractère d’unité de la Mathématique est l’essence même de cette Science. En effet, les Mathématiques sont les fondements de toutes les connaissances naturelles exactes. Pour qu’elles remplissent complètement ce but élevé, puissent-elles être dans le nouveau siècle cultivées par des maîtres géniaux et par nombre de jeunes gens brûlant d’un noble zèle !

LES 23 PROBLÈMES

I. —

Problème de M. Cantor relatif à la puissance du continu

II. —

De la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique

III. —

De l’égalité en volume de deux tétraèdres de bases et de hauteurs égales

IV. —

Problème de la ligne droite, plus court chemin d’un point à un autre

V. —

De la notion des groupes continus de transformations de Lie, en faisant abstraction de l’hypothèse que les fonctions définissant les groupes sont susceptibles de différentiation

VI. —

Le traitement mathématique des axiomes de la Physique

VII. —

Irrationalité et transcendance de certains nombres

VIII. —

Problèmes sur les nombres premiers

IX. —

Démonstration de la loi de réciprocité la plus générale dans un corps de nombres quelconque

X. —

De la possibilité de résoudre une équation de Diophante

XI. —

Des formes quadratiques à coefficients algébriques quelconques

XII. —

Extension du théorème de Kronecker sur les corps abéliens à un domaine de rationalité algébrique quelconque

XIII. —

Impossibilité de la résolution de l’équation générale du septième degré au moyen de fonctions de deux arguments seulement

XIV. —

Démontrer que certains systèmes de fonctions sont finis

XV. —

Établissement rigoureux de la Géométrie énumérative de Schubert

XVI. —

Problèmes de topologie des courbes et des surfaces algébriques

XVII. —

Représentation des formes définies par des sommes de carrés

XVIII. —

Partition de l’espace en polyèdres congruents

XIX. —

Les solutions des problèmes réguliers du calcul des variations sont-elles nécessairement analytiques ?

XX. —

Problème de Dirichlet dans le cas général

XXI. —

Démonstration de l’existence d’équations différentielles linéaires ayant un groupe de monodromie assigné

XXII. —

Relations analytiques exprimées d’une manière uniforme au moyen de fonctions automorphes

XXIII. —

Extension des méthodes du Calcul des variations

↑ L’original de la traduction a paru en allemand dans les Göttinger Nachrichten, 1900. M. Hilbert a fait ici quelques modifications à l’original au § 13 et quelques additions au § 14 et au § 23. (L. L.)
↑ En allemand Kreiskörper. C’est un corps déterminé par les racines de l’unité d’un degré quelconque déterminé. On trouvera les plus récents développements de ces diverses théories dans le compte rendu : Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, par M. Hilbert (Jahresbericht der D. M. V., t. IV ; 1894-1895, Berlin, Reimer ; 1897, p. 174-542).
↑ Leipzig, Teubner, 1^er fasc. ; 1896.
↑ Comparez Helmholtz : Ueber die Wechselwirkung der Naturkräfte und die darauf bezüglichen neuesten Ermittelungen der Physik, Vortrag gehalten in Königsberg ; 1854.
↑ Jahresbericht der D. M. V., t. VIII, p. 180 ; 1900.
↑ Comparer une Note inédite écrite par M. Hilbert pour la traduction de sa Festschrift : Grundlagen der Geometrie (Annales de l’École Normale supérieure, 3^e série, t. XVII, p. 123 ; 1900). (L. L.)
↑ Gauss, Werke, t. VIII, p. 241 et 244.
↑ Outre les auteurs antérieurs, consulter à ce sujet Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Chap. IV, Leipzig ; Teubner, 1899. Comparer aussi une Note ajoutée au Chap. IV de la traduction de cet Ouvrage (Annales de l’École Normale, 3^e série, t. XVII ; 1900) où M. Hilbert parle des travaux fondamentaux sur ce sujet de M. Gérard, professeur au lycée Charlemagne.
↑ Gauss, Werke, t. VIII, p. 242.
↑ Leipzig, Teubner.
↑ Math. Annalen, t. XLVI, p. 91.
↑ Leçons sur la théorie générale des surfaces, t. III, p. 54 ; Paris, 1894.
↑ Comparer les intéressantes recherches de M. A. Hirsch (Math. Annalen, t. XLIX et L).
↑ Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppe, t. III, § 82 et 144. Leipzig, 1893.
↑ Ueber den analytischen Character der eine endliche continuirliche Transformationsgruppe darstellenden Functionen (Math. Annalen, t. XLI).
↑ Œuvres, édit. Sylow et Lie, t. I, p. 1, 61, 389.
↑ Quelques théories fondamentales dans l’Analyse mathématique. Conférences faites à Clark University, 1900. — Extrait de la Revue générale des Sciences, publié sous forme de livre par Armand Colin et C^ie, p. 22.
↑ Comparer Bohlmann, Ueber Versicherungsmathematik, zweite Vorlesung, aus Klein und Riecke, Ueber angewandte Mathematik und Physik. Leipzig und Berlin, 1900.
↑ Die Mechanik in ihrer Entwickelung. Leipzig, zweite Auflage ; 1889.
↑ Die Principien der Mechanik. Leipzig ; 1894.
↑ Vorlesungen über die Principe der Mechanik. Leipzig ; 1897.
↑ Einführung in das Studium der theoretischen Physik. Leipzig ; 1900.
↑ Math. Annalen, t. XXII et XXXII.
↑ Comparer M. P. Stäckel, Ueber Goldbach’s empirisches Theorem (Göttinger Nachrichten ; 1896), et M. Landau, loc. cit. ; 1900.
↑ Bericht der D. M. V., über die Theorie der algebraischen Zahlkörper, 5^e Partie, t. IV ; 1897.
↑ Math. Annalen, t. LI, et Göttingen Nachrichten, 1898.
↑ Hilbert, Ueber den Dirichletschen biquadratischen Zählenkörper (Math. Annalen, t. XLV). — Ueber die Theorie der relativquadratischen Zahlkörper (Berichte der D. M. V. ; 1897, et Math. Annalen, t. LI). — Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Körper (Göttinger Nachrichten ; 1898). — Grundlagen der Geometrie. Festschrift. Leipzig ; 1899, Chap. VIII, § 83 (traduit dans les Annales de l’École Normale, 3^e série, t. XVII ; 1900).
↑ H. Weber, Elliptische Functionen und algebraische Zahlen. Braunschweig ; 1891.
↑ Jahresberichte der D. M. V., t. VI, ainsi qu’un Mémoire des Math. Annalen : Ueber die Entwickelung der algebraischen Zahlen in Potenzreihen.
↑ Math. Annalen, t. L ; 1898.
↑ Comparer Hilbert, Ueber die Theorie der relativ-Abelschen Zahlkörper (Göttinger Nachrichten ; 1898).
↑ M. d’Ocagne, Traité de Nomographie. Paris, Gauthier-Villars ; 1899.
↑ Dans ce § XIII, en fait de méthodes nomographiques, M. Hilbert n’a visé que celles qui ne comportent aucun élément mobile. En effet, l’introduction d’éléments mobiles permet de construire des fonctions de plus de deux arguments. C’est ce que M. d’Ocagne a fait voir (Comptes rendus, t. CXXXI, p. 522 ; 1900), et cela précisément à l’occasion de la conférence de M. Hilbert ici traduite. La méthode dite des points alignés, qui comporte l’emploi d’une simple droite, permet très aisément de donner une solution nomographique de l’équation du septième degré. (L. L.)
↑ Comparer les Sitzungsberichte der K. Acad. der Wiss. zu München ; 1899, et un Travail paru peu après dans les Math. Annalen.
↑ Ueber die Erzeugung der Invarianten durch Integration (Göttinger Nachrichten ; 1897).
↑ Kalkül der Abzählenden Geometrie. Leipzig ; 1879.
↑ Mathematische Annalen, t. X.
↑ Ueber die reellen Züge algebraischen Curven (Math. Annalen, t. XXXVIII, p. 116-138).
↑ Comparer Rohn, Flächen vierter Ordnung. Preisschrift der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft. Leipzig ; 1886.
↑ Math. Annalen, t. XXXII.
↑ Acta mathematica, t. XVII.
↑ Comparer Hilbert, la Festschrift déjà citée ; Grundlagen der Geometrie, Chap. VII, en particulier le § 38.
↑ Journal für Mathematik, t. LXXXIV ; 1878, et Atti della Reale Accademia di Napoli ; 1880.
↑ T. I, en particulier Section I, chap. II et IV ; Leipzig, 1897.
↑ Symmetrie der regelmässigen Systeme von Figuren ; 1890.
↑ Krystallsysteme und Krystallstructur ; Leipzig, 1891.
↑ Math. Annalen, t. LVIII.
↑ Math. Annalen, t. XXVIII.
↑ Journal de l’École Polytechnique ; 1890.
↑ Comparer le Mémoire subséquent de M. Hilbert sur ce sujet : Ueber Flächen von constanter Gaussscher Krümmung (Transactions of the American mathematical Society, Vol. II, n^o 1, p. 87-99 ; January 1901). (L. L.)
↑ Comparer ma Note sur le Principe de Dirichlet (Jahresbericht der D. M. V., t. VIII, p. 184 ; 1900, traduite dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, 3^e série, t. XIX ; 1900).
↑ Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, vol. II, Partie II, n^o 366.
↑ Bulletin de la Soc. Math. de France, t. XI ; 1883.
↑ Comme Traités je citerai : Moigno-Lindelöf, Leçons sur le Calcul des variations ; Paris, 1861, et A. Kneser, Lehrbuch der Variationsrechnung ; Braunschweig, 1900.
Pour donner une idée du contenu de ce Livre, nous ferons simplement observer que M. Kneser, dans les problèmes les plus simples, de même que dans le cas où une limite d’intégration est variable, établit des conditions suffisantes relatives à la valeur extrême et emploie l’enveloppe d’une famille de courbes qui vérifient les équations différentielles du problème, pour démontrer la nécessité de la condition de Jacobi relative à la valeur extrême. Attirons encore l’attention sur ce point que M. Kneser, dans son Livre, applique aussi la théorie de Weierstrass à la question de la valeur extrême de quantités définies par des équations différentielles.
↑ Pour la définition de cette opération, voir le compte rendu de M. Meyer Sur la Théorie des invariants (Jahresbericht der D. M. V., t. I, p. 199), ou encore le même, Traduction de M. Fehr, dans le Bulletin de M. Darboux, t. XIX, p. 24 ; 1895. (L. L.)
↑ Comparer le Traité déjà cité, § 14, 15, 19, 20.

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