I. — Problème de M. Cantor relatif à la puissance du continu.

Deux systèmes, c’est-à-dire deux ensembles, de nombres réels ordinaires (ou de points) sont, d’après M. Cantor, dits équivalents ou de même puissance, lorsque l’on peut établir entre eux une relation telle qu’à chaque nombre de l’un des ensembles corresponde un nombre déterminé et un seul de l’autre. Les recherches de M. Cantor sur de tels ensembles rendent très probable l’exactitude d’un théorème qui, jusqu’ici, malgré les plus grands efforts, n’a pu être démontré par personne. Ce théorème est le suivant : Tout système de nombres réels en nombre infini, c’est-à-dire tout ensemble infini de nombres (ou de points), ou bien est équivalent à l’ensemble de tous les nombres entiers naturels 1, 2, 3, …, ou bien est équivalent à l’ensemble de tous les nombres réels, et par conséquent au continu, c’est-à-dire aux points d’un segment ; au point de vue de l’équivalence, il n’y aurait donc que deux ensembles de nombres : l’ensemble dénombrable et le continu.

De ce théorème résulterait également que le continu formerait la puissance immédiatement supérieure à la puissance des ensembles dénombrables. La démonstration de ce théorème serait alors comme un nouveau pont jeté entre les ensembles dénombrables et le continu.

Citons encore une très remarquable affirmation de M. Cantor, qui a un rapport des plus intimes avec le théorème précédent et qui en serait peut-être la clef de la démonstration. Un système quelconque de nombres réels est dit ordonné lorsque de deux nombres quelconques du système on a convenu lequel est le précédent et lequel est le suivant ; de plus cette convention doit être telle que, un nombre ${\displaystyle a}$ précédant un nombre ${\displaystyle b}$, et le nombre ${\displaystyle b}$ précédant à son tour un nombre ${\displaystyle c}$, l’on devra regarder ${\displaystyle a}$ comme précédant ${\displaystyle c}$. L’ordre dit naturel des nombres d’un système est celui où l’on regarde un plus petit nombre comme précédant un plus grand qui sera de son côté regardé comme suivant le premier. Il y a, c’est facile à voir, une infinité d’autres manières d’ordonner les nombres d’un système.

Maintenant, si nous considérons un ordre déterminé de nombres et si parmi ceux-ci nous mettons à part un système particulier de nombres, ce que l’on nomme un système ou ensemble partiel, cet ensemble partiel sera également ordonné. Or, M. Cantor considère une espèce particulière d’ensembles ordonnés qu’il nomme ensembles bien ordonnés ; ce qui caractérise ces ensembles bien ordonnés, c’est qu’il existe non seulement dans l’ensemble même, mais encore dans tout ensemble partiel, un nombre qui précède tous les autres. Le système des nombres entiers 1, 2, 3, …, dans son ordre naturel, est évidemment un ensemble bien ordonné. Au contraire, l’ensemble de tous les nombres réels, c’est-à-dire le continu, dans l’ordre naturel, n’est pas un ensemble bien ordonné. En effet, considérons l’ensemble partiel formé par les points d’un segment où l’on a fait abstraction du point initial ; il est clair que cet ensemble partiel ne possède jamais aucun élément précédant tous les autres. Il se présente alors cette question : L’ensemble de tous les nombres ne pourrait-il être ordonné d’une autre manière telle que tout ensemble partiel eût un élément précédant tous les autres ? Autrement dit, le continu peut-il être conçu comme ensemble bien ordonné ? À cette question, M. Cantor croit que l’on peut répondre par l’affirmative. Il me semble extrêmement désirable d’obtenir une démonstration directe de cette remarquable affirmation de M. Cantor, en assignant par exemple effectivement un ordre des nombres tel que dans tout ensemble partiel on puisse assigner un nombre précédant tous les autres.