II. — De la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique.

Lorsqu’il s’agit de poser les principes fondamentaux d’une science, l’on doit établir un système d’axiomes renfermant une description complète et exacte des relations entre les concepts élémentaires de cette science. Ces axiomes sont en même temps les définitions de ces concepts élémentaires ; aucune affirmation relative à la science dont nous examinons les principes fondamentaux ne sera admise comme exacte, à moins qu’on ne puisse la tirer des axiomes au moyen d’un nombre fini de déductions. Si l’on considère les choses plus exactement, la question suivante se pose : Certaines affirmations contenues dans des axiomes ne sont-elles pas dépendantes les unes des autres, et, par suite, ces axiomes ne renferment-ils pas des parties communes superflues que l’on doit supprimer si l’on veut obtenir un système d’axiomes complètement indépendants ?

Mais avant tout, parmi tant de questions soulevées par l’examen des axiomes, je regarde comme la plus importante celle-ci : Démontrer que les axiomes ne sont pas contradictoires ; c’est-à-dire démontrer qu’en se basant sur les axiomes l’on ne pourra jamais arriver à des résultats contradictoires au moyen d’un nombre fini de déductions logiques.

En Géométrie on démontre la non-contradiction des axiomes en construisant un domaine convenable de nombres tel qu’aux axiomes géométriques correspondent des relations analogues entre les nombres de ce domaine et tel, par conséquent, que toute contradiction dans les conclusions tirées des axiomes géométriques serait forcément reconnaissable dans l’arithmétique de ce domaine. De cette façon la non-contradiction des axiomes géométriques est ramenée à la démonstration de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique.

Quant à la démonstration de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique, elle demande à être effectuée par voie directe.

Les axiomes de l’Arithmétique ne sont pas essentiellement autre chose que les règles ordinaires du calcul auxquelles il faut ajouter l’axiome de continuité. Il n’y a pas longtemps, j’ai énuméré ces axiomes dans une courte Note^[5] ; en même temps j’y ai remplacé l’axiome de la continuité par deux autres plus simples, à savoir : l’axiome connu d’Archimède, et un nouvel axiome énonçant que les nombres forment un système d’êtres qui n’est susceptible d’aucune extension, si l’on conserve intacts tous les autres axiomes (axiome d’intégrité)^[6]. Or je suis persuadé que l’on peut trouver une démonstration directe de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique en appliquant à ce but les méthodes de raisonnement connues dont on se sert dans la théorie des nombres irrationnels, après les avoir remaniées en leur faisant subir des modifications convenables.

Pour caractériser encore à un autre égard l’importance du problème, je ferai la remarque suivante : si l’on confère à quelque notion des attributs qui se contredisent, je dirai que, au point de vue mathématique, cette notion n’existe pas. Par exemple, en Mathématiques, il n’existe aucun nombre réel dont le carré soit égal à −1. Si l’on peut, au contraire, démontrer que les attributs conférés à une notion ne peuvent jamais, par l’application d’un nombre fini de déductions logiques, conduire à une contradiction, je dirai que l’on a ainsi démontré l’existence mathématique de la notion en question, par exemple l’existence d’un nombre ou d’une fonction remplissant certaines conditions. Dans le cas actuel où il s’agit des axiomes relatifs aux nombres réels de l’Arithmétique, la démonstration de la non-contradiction des axiomes de l’Arithmétique serait en même temps la démonstration de l’existence mathématique de l’ensemble de tous les nombres réels, c’est-à-dire du continu. De la sorte, si l’on obtenait une démonstration complète de la non-contradiction des axiomes, les objections qui ont été soulevées de temps à autre contre l’existence de la conception des nombres réels n’auraient aucune raison d’être. À vrai dire, l’ensemble de tous les nombres réels, c’est-à-dire le continu, envisagé comme nous le faisons ici, n’est pas, à proprement parler, la totalité de tous les développements possibles en fractions décimales ou l’ensemble de toutes les lois possibles suivant lesquelles peuvent procéder les éléments d’une série fondamentale : c’est plutôt un système d’êtres dont les relations mutuelles sont régies par les axiomes établis et pour lesquels sont vrais tous les faits, et ceux-là seuls, que l’on peut déduire de ces axiomes au moyen d’un nombre fini de déductions logiques. Ce n’est qu’en ce sens, selon moi, que la notion du continu est rigoureusement et logiquement concevable ; et il me semble effectivement que c’est ainsi que ce concept correspond le mieux à ce que nous donnent l’expérience et l’intuition. La notion du continu, et même celle de l’ensemble de toutes les fonctions, existe alors absolument au même sens qu’existe, par exemple, le système de tous les nombres rationnels, ou encore les classes de nombres et les puissances plus élevées de M. Cantor. Je suis, en effet, convaincu que l’existence de ces dernières conceptions, au sens que je viens d’indiquer, peut être tout aussi bien démontrée que l’existence du continu, tandis que c’est tout le contraire pour le système de toutes les puissances ou encore de tous les nombres aleph transfinis de M. Cantor, pour lequel on ne peut établir, au sens que j’ai indiqué, un système non contradictoire d’axiomes, et qui forment alors, par suite, une conception qui, suivant mon expression de tout à l’heure, n’a pas d’existence mathématique.

Dans le domaine des principes de la Géométrie, je citerai d’abord le problème suivant :