III. — De l’égalité en volume de deux tétraèdres de bases et de hauteurs égales.

Dans deux lettres adressées à Gerling, Gauss^[7] exprime le regret que certains théorèmes de Stéréométrie dépendent de la méthode d’exhaustion ou, comme on dirait aujourd’hui, de l’axiome de continuité (ou de l’axiome d’Archimède). Gauss cite en particulier ce théorème d’Euclide, que deux pyramides triangulaires de même hauteur sont entre elles comme leurs bases. Le problème analogue relatif au plan est aujourd’hui complètement résolu^[8]. Gerling^[9] réussit à démontrer l’égalité des volumes de polyèdres symétriques en les décomposant en parties congruentes ; mais la démonstration, par ce moyen, du théorème précité d’Euclide dans le cas général, ne me semble guère possible. Il s’agirait donc alors d’une démonstration rigoureuse de l’impossibilité du problème. On serait immédiatement en possession d’une telle démonstration du moment que l’on pourrait assigner deux tétraèdres de bases et de hauteurs égales qu’il serait impossible de décomposer en tétraèdres congruents, et qui ne pourraient non plus, par l’addition de tétraèdres congruents, être transformés en polyèdres, eux-mêmes décomposables en tétraèdres congruents.