IV. — Problème de la ligne droite, plus court chemin d’un point à un autre.

C’est encore là un problème relatif aux principes fondamentaux de la Géométrie.

Si des axiomes nécessaires à l’édification de la Géométrie habituelle euclidienne, nous retranchons l’axiome des parallèles en supposant qu’il ne soit pas vérifié, mais que, au contraire, tous les autres le soient, nous obtenons, comme on le sait, la Géométrie (hyperbolique) de Lobatchefskij. En ce sens, nous pouvons dire que c’est une Géométrie qui se place à la suite de la Géométrie euclidienne. Si nous supposons, en outre, que l’axiome en vertu duquel de trois points d’une droite il en est toujours un et un seul situé entre les deux autres, cesse d’être vérifié, nous obtenons la Géométrie (elliptique) de Riemann, en sorte que celle-ci se manifeste comme une Géométrie placée à la suite de celle de Lobatchefskij.

Si, d’une manière analogue, nous voulons examiner les principes dans le cas de l’axiome d’Archimède, nous n’avons qu’à supposer que cet axiome n’est pas vérifié et nous obtenons alors les Géométries non archimédiennes dont M. Veronese et moi nous avons fait l’étude. Or, une question plus générale qui se présente ensuite est celle de savoir si l’on pourrait encore, en partant d’autres points de vue, édifier des Géométries qui, avec non moins de droit que les précédentes, se placeraient à la suite de la Géométrie euclidienne habituelle. À cet effet, j’attirerai votre attention sur un théorème que beaucoup d’auteurs d’ailleurs ont pris comme définition de la ligne droite, à savoir que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre. Cet énoncé se réduit essentiellement à ce théorème d’Euclide que, dans un triangle, la somme de deux côtés est toujours plus grande que le troisième ; il est facile de voir que, dans ce théorème, il ne s’agit que de concepts élémentaires, c’est-à-dire dérivant immédiatement des axiomes ; il est, par suite, d’une discussion plus abordable que la proposition en question de la droite plus court chemin. Euclide démontre ce théorème au moyen de la proposition de l’angle extérieur en s’appuyant sur les théorèmes de congruence. Or, il est aisé de se convaincre que la démonstration du théorème d’Euclide en question est impossible si l’on invoque uniquement les théorèmes de congruence relatifs au transport de segments et d’angles, et l’on voit qu’il est nécessaire, en outre, d’employer dans la démonstration un théorème de la congruence des triangles. Alors cette question se présente : Existe-t-il une Géométrie où sont vérifiés tous les axiomes de la Géométrie euclidienne habituelle et, en particulier, tous les axiomes de congruence, sauf l’axiome de congruence de triangles dont il vient d’être parlé (c’est-à-dire encore une Géométrie où ne sera pas vérifié le théorème d’après lequel les angles à la base d’un triangle isoscèle sont égaux) et où, de plus, le théorème que, dans tout triangle, la somme de deux côtés est plus grande que le troisième, est posé comme un axiome particulier ?

Or, l’on reconnaît qu’une telle Géométrie existe effectivement, et n’est pas autre que celle exposée par M. Minkowski dans son livre, Geometrie der Zahlen^[10], et prise par lui comme base de ses recherches arithmétiques. La Géométrie de Minkowski est donc aussi une Géométrie qui se place à la suite de la Géométrie euclidienne habituelle ; elle est essentiellement caractérisée par les conventions suivantes :

Premièrement, les points à égale distance d’un point fixe O sont représentés par une surface convexe fermée de l’espace euclidien habituel et dont le centre est le point O ;

Secondement, deux segments sont encore dits égaux quand on peut les faire coïncider au moyen d’une translation de l’espace euclidien habituel.

Dans la Géométrie de Minkowski, l’axiome des parallèles est vérifié. Dans une Note^[11] que j’ai publiée sur le théorème relatif à la droite chemin le plus court d’un point à un autre, je suis parvenu à une Géométrie où l’axiome des parallèles n’est pas vérifié, tandis que tous les autres axiomes de la Géométrie de Minkowski le sont. En raison du rôle important joué par le théorème de la ligne droite plus court chemin d’un point à un autre, ainsi que par le théorème d’Euclide sur la somme de deux côtés d’un triangle, qui est essentiellement équivalent, non seulement dans la théorie des nombres, mais encore dans la théorie des surfaces et le Calcul des variations, et comme je suis convaincu qu’une discussion approfondie des conditions relatives à la validité de ces théorèmes jetterait également un nouveau jour sur le concept de distance ainsi que sur d’autres notions élémentaires, par exemple sur la définition du plan et sur la possibilité de le définir au moyen du concept de droite, il me semble désirable que l’on fasse une discussion et une exposition systématique des Géométries possibles ici.

Dans le cas du plan et en admettant l’axiome de continuité, le problème dont il s’agit conduit à la question traitée par M. Darboux^[12] : Déterminer tous les problèmes du Calcul des variations dans le plan où les solutions sont toutes les droites du plan ; question qui me semble susceptible et digne de généralisations fécondes et intéressantes^[13].