V. — De la notion des groupes continus de transformations de Lie, en faisant abstraction de l’hypothèse que les fonctions définissant les groupes sont susceptibles de différentiation.

On sait qu’en employant la notion des groupes continus de transformation, Lie a établi un système d’axiomes pour la Géométrie, et a démontré au moyen de sa théorie des groupes continus de transformations que ce système d’axiomes suffit pour édifier la Géométrie.

Or, dans l’exposition de sa théorie, Lie suppose toujours que les fonctions définissant les groupes sont susceptibles de différentiation ; alors que rien dans ces développements ne nous dit si, dans la question des axiomes de la Géométrie, cette hypothèse relative à la différentiation est de toute nécessité, ou si elle ne serait pas plutôt une conséquence du concept de groupes ainsi que des autres axiomes géométriques employés. Cette considération, ainsi que certains problèmes relatifs aux axiomes arithmétiques, nous mènent à cette question plus générale : Jusqu’à quel point le concept de groupes continus de transformations de Lie est-il accessible, si l’on rejette l’hypothèse que les fonctions en question sont susceptibles de différentiation ?

On sait que Lie définit le groupe fini continu de transformations comme un système de transformations

${\displaystyle x'_{i}=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n};a_{1},\ldots ,a_{r})\quad (i=1,\ldots ,n)}$

tel que deux transformations quelconques

${\displaystyle {\begin{aligned}x'_{i}\,&=f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n};a_{1},\ldots ,a_{r}){\text{,}}\\x''_{i}&=f_{i}(x'_{1},\ldots ,x'_{n};b_{1},\ldots ,b_{r})\end{aligned}}}$

du système, opérées l’une après l’autre, fournissent une transformation appartenant également au système et, par suite, représentable sous la forme

${\displaystyle x''_{i}\!=\!f_{i}[f_{1}(x,a),\!\ldots \!,\!f_{n}(x,a);b_{1},\!\ldots \!,b_{r}]\!=\!f_{i}(x_{1},\!\ldots \!,x_{n};c_{1},\!\ldots \!,c_{r}){\text{,}}}$

où ${\displaystyle {c_{1},\,\ldots ,c_{r}}}$ sont certaines fonctions de ${\displaystyle {a_{1},\ldots ,a_{r};}}$ ${\displaystyle {b_{1},\ldots ,b_{r}}}$. La propriété de groupe se trouve ainsi exprimée par un système d’équations fonctionnelles et ne soumet donc les fonctions ${\displaystyle {f_{1},\ldots ,f_{n};}}$ ${\displaystyle {c_{1},\ldots ,c_{r}}}$ à aucune autre restriction. Maintenant la méthode de traitement par Lie de ces équations fonctionnelles, à savoir la dérivation des équations différentielles connues dont on part, présuppose nécessairement la continuité des fonctions définissant le groupe ainsi que la possibilité de les différentier.

Quant à la continuité, on devra conserver d’abord cette condition, quand ce ne serait qu’eu égard aux applications géométriques et arithmétiques où la continuité des fonctions en question apparaît comme conséquence de l’axiome de continuité. Au contraire, la possibilité de différentier les fonctions définissant les groupes renferme une condition que l’on ne peut exprimer dans les axiomes géométriques que d’une façon bien détournée et bien compliquée, et il se présente alors cette question : Ne serait-il pas toujours possible, par l’introduction de nouvelles variables et de paramètres convenablement choisis, de ramener le groupe à un autre où les fonctions qui le définissent seraient susceptibles de différentiation ? Ou encore ne serait-il pas au moins possible, au moyen de l’introduction de certaines hypothèses simples, de ramener le groupe à un autre qui serait accessible aux méthodes de Lie ? La réduction aux groupes analytiques est, d’après un théorème énoncé par Lie^[14] et démontré par Schur^[15], toujours possible, pourvu que le groupe soit transitif et pourvu que l’on admette l’existence des dérivées premières et de certaines dérivées secondes des fonctions définissant le groupe.

L’étude des questions analogues dans le cas des groupes infinis est intéressante aussi, ce me semble. On est alors, en général, conduit au champ vaste et non sans intérêt des équations fonctionnelles. Celles-ci, jusqu’ici, ont été surtout étudiées dans l’hypothèse de la possibilité de différentier les fonctions qui s’y rapportent. En particulier les équations fonctionnelles, traitées avec tant de perspicacité par Abel^[16], les équations aux différences finies, et d’autres équations déjà rencontrées ne nous apprennent rien par elles-mêmes sur cette condition de la possibilité de différentier les fonctions en question ; ce sont certaines démonstrations d’existence dans le calcul des variations qui m’ont directement imposé ce problème : tirer d’une équation aux différences la démonstration de la possibilité de différentier la fonction considérée. Dans tous ces cas on est donc conduit à cette question : Jusqu’à quel point les affirmations admissibles dans le cas où l’on suppose les fonctions susceptibles de différentiation conservent-elles, avec certaines modifications convenables, leur validité dans le cas où l’on rejette cette hypothèse ?

Remarquons d’ailleurs que M. Minkowski, dans sa Géométrie des nombres précitée, prend comme point de départ l’équation fonctionnelle

${\displaystyle f(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})\leqq f(x_{1},\ldots ,x_{n})+f(y_{1},\ldots ,y_{n})}$

et parvient, au moyen de cette équation, à démontrer l’existence de certaines dérivées pour les fonctions en question.

D’autre part, je ferai remarquer qu’il peut très bien exister des équations fonctionnelles analytiques dont les seules solutions sont des fonctions non susceptibles de différentiation. Ainsi, on peut construire une fonction ${\displaystyle {\varphi (x)}}$ uniforme et continue, non susceptible de différentiation et qui représente l’unique solution des deux équations fonctionnelles

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (x+\alpha )-\varphi (x)&=f(x){\text{,}}\\\varphi (x+\beta )-\varphi (x)&=0{\text{,}}\end{aligned}}}$

où ${\displaystyle \alpha }$ et ${\displaystyle \beta }$ sont deux nombres réels et où ${\displaystyle f(x)}$ désigne une fonction uniforme analytique et régulière pour toutes les valeurs réelles de ${\displaystyle x}$. La manière la plus simple de construire de pareilles fonctions, c’est d’employer des séries trigonométriques en se servant d’idées analogues à celles que M. Borel a appliquées, ainsi que M. Picard^[17] nous l’apprend, à la construction d’une solution non analytique, doublement périodique d’une certaine équation analytique aux dérivées partielles.