VI. — Le traitement mathématique des axiomes de la Physique.

Les recherches sur les principes fondamentaux de la Géométrie nous conduisent à envisager ce problème : Traiter sur ce modèle les branches de la Physique où les Mathématiques jouent aujourd’hui un rôle prépondérant ; ces branches de la Science sont, avant toutes autres, le Calcul des Probabilités et la Mécanique.

Quant aux axiomes du Calcul des probabilités^[18], il me semblerait très désirable que l’on en fît la discussion logique en même temps qu’en Physique mathématique on développerait parallèlement d’une manière rigoureuse et satisfaisante la méthode des valeurs moyennes, et cela tout particulièrement dans la théorie cinétique des gaz.

Quant aux principes de la Mécanique, nous possédons déjà au point de vue physique des recherches d’une haute portée ; je citerai, par exemple, les écrits de MM. Mach^[19], Hertz^[20], Boltzmann^[21] et Volkmann^[22]. Il serait aussi très désirable qu’un examen approfondi des principes de la Mécanique fût alors tenté par les mathématiciens. Ainsi le Livre de M. Boltzmann sur les Principes de la Mécanique nous incite à établir et à discuter au point de vue mathématique d’une manière complète et rigoureuse les méthodes basées sur l’idée de passage à la limite, et qui de la conception atomique nous conduisent aux lois du mouvement des continua. Inversement on pourrait, au moyen de méthodes basées sur l’idée de passage à la limite, chercher à déduire les lois du mouvement des corps rigides d’un système d’axiomes reposant sur la notion d’états d’une matière remplissant tout l’espace d’une manière continue, variant d’une manière continue et que l’on devra définir paramétriquement.

Quoi qu’il en soit, c’est la question de l’équivalence des divers systèmes d’axiomes qui présentera toujours l’intérêt le plus grand quant aux principes.

Pour que l’exemple de la Géométrie soit applicable au traitement des axiomes de la Physique, nous devons chercher à renfermer une classe aussi générale que possible de phénomènes physiques dans un nombre restreint d’axiomes ; puis, au moyen de l’addition de nouveaux axiomes, il faut parvenir successivement aux théories plus particulières. Peut-être pourrait-on ici emprunter un principe de subdivision à cette profonde Théorie des groupes infinis de transformations de Lie. Le mathématicien, de même qu’en Géométrie, devra ici aussi avoir égard, non seulement aux théories qui se rapprochent de la réalité, mais encore en général à toutes celles qui sont logiquement possibles, et il devra toujours soigneusement chercher à obtenir une vue d’ensemble complète sur toutes les conséquences qu’entraîne le système d’axiomes choisi.

Enfin, pour compléter les théories physiques, le mathématicien devra attaquer le problème qui consiste en chaque cas à examiner si le nouvel axiome ajouté n’est pas en contradiction avec les précédents. Le physicien se voit souvent obligé, par le résultat de ses expériences, de faire de nouvelles hypothèses, et cela même pendant le développement de ses théories, et il invoque alors au sujet de la non-contradiction des nouvelles hypothèses avec les précédentes, ces expériences précisément, ou encore un certain sentiment physique. Ce sont là des procédés qui ne sont pas admissibles dans l’édification rigoureusement logique d’une théorie. La démonstration requise de la non-contradiction de toutes les hypothèses faites me semble encore d’une grande importance par la raison que l’effort nécessité par cette démonstration conduit toujours de la manière la plus effective à un énoncé exact des axiomes mêmes.

Jusqu’ici nous avons exclusivement examiné les principes fondamentaux des diverses branches de la Science mathématique. Il est certain que l’étude et la discussion des principes d’une science possèdent un charme particulier et l’examen de ces principes sera toujours un des plus importants sujets de recherches. « Le but final », a dit Weierstrass, « que l’on doit avoir devant les yeux est la recherche d’un jugement exact sur les principes fondamentaux de la science… Pour pénétrer dans le domaine de la Science il est, sans doute, indispensable aussi de s’occuper de problèmes particuliers. » En effet, pour pouvoir examiner avec fruit les principes d’une science, il faut être familiarisé avec ses théories particulières ; seul, l’architecte qui connaît à fond, dans tous leurs détails, les diverses destinations d’un bâtiment, sera capable d’en poser sûrement les fondations. Nous allons donc maintenant passer en revue des problèmes spéciaux dans les diverses branches de la Mathématique, et nous commencerons par l’Arithmétique et l’Algèbre.