XXI. — Démonstration de l’existence d’équations différentielles linéaires ayant un groupe de monodromie assigné.

Dans la Théorie des équations différentielles linéaires à une variable indépendante ${\displaystyle z}$, j’attirerai l’attention sur un très important problème, que Riemann d’ailleurs avait déjà en vue, et qui consiste à démontrer qu’il existe toujours une équation différentielle linéaire de la classe de M. Fuchs ayant des points critiques donnés et un groupe de monodromie donné. Ce problème exige donc que l’on trouve ${\displaystyle n}$ fonctions de la variable ${\displaystyle z}$ qui se comportent partout régulièrement dans le plan de la variable complexe ${\displaystyle z}$, sauf en certains points critiques donnés : en ces points l’ordre d’infinitude des fonctions doit être fini, et lorsque la variable ${\displaystyle z}$ décrit un contour autour de ces points, les fonctions doivent éprouver les substitutions linéaires données. L’existence de pareilles équations différentielles est rendue très probable au moyen d’un dénombrement de constantes, mais jusqu’ici l’on n’est parvenu à une démonstration rigoureuse que dans le cas particulier où les racines des équations fondamentales des substitutions données ont l’unité pour valeur absolue. M. L. Schlesinger^[52] a établi cette démonstration en s’appuyant sur la théorie des fonctions zeta-fuchsiennes de M. Poincaré. Il est clair que la théorie des équations différentielles linéaires gagnerait essentiellement en unité si l’on parvenait à résoudre d’une manière générale le problème que je viens d’indiquer.