XX. — Problème de Dirichlet dans le cas général.

Un important problème, intimement lié au précédent, est celui de l’existence des solutions d’équations aux dérivées partielles devant prendre des valeurs assignées le long de contours donnés. Les méthodes si perspicaces de MM. H.-A. Schwarz, C. Neumann et Poincaré ont résolu ce problème, dans le cas de l’équation de Laplace, quant aux points les plus essentiels, mais en général ces méthodes ne semblent pas susceptibles d’être étendues au cas où sont encore assignées, le long du contour, les valeurs des dérivées ou encore des relations entre ces dernières et la fonction, ou bien lorsqu’il ne s’agit plus de surfaces potentielles, mais, par exemple, de surface minima ou de surfaces à courbure gaussienne constante positive, assujetties à passer par une courbe gauche assignée ou à toucher une surface annulaire le long d’une courbe fermée. Je suis persuadé que l’on parviendrait à effectuer ces démonstrations en se basant sur une idée mère générale à laquelle se rattache le principe de Dirichlet et qui nous permettrait d’aborder de plus près cette question : Chaque problème régulier du Calcul des variations ne possède-t-il pas une solution, pourvu que certaines hypothèses soient vérifiées, relativement aux conditions limitatives données, relativement, par exemple, à la continuité et à la possibilité de différentier, plus ou moins de fois successives, les fonctions dont il s’agit, et pourvu nécessairement aussi que la notion de solution soit convenablement généralisée^[51] ?