XIX. — Les solutions des problèmes réguliers du calcul des variations sont-elles nécessairement analytiques ? — Sur les problèmes futurs des mathématiques

Table des matières XVIII. — Partition de l’espace en polyèdres congruents.Chapitre 21 / 25

XIX. — Les solutions des problèmes réguliers du calcul des variations sont-elles nécessairement analytiques ?

Je regarde comme un des faits vraiment les plus remarquables des éléments de la Théorie des fonctions analytiques qu’il y ait des équations aux dérivées partielles dont les intégrales sont toutes nécessairement des fonctions analytiques des variables indépendantes, ou, pour abréger le langage, qu’il y ait des équations aux dérivées partielles qui ne soient susceptibles que de solutions analytiques. Les équations aux dérivées partielles les plus connues de cette espèce sont l’équation du potentiel

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0

et certaines équations linéaires étudiées par M. Picard^[49], enfin l’équation différentielle

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=e^{f}

l’équation aux dérivées partielles des surfaces minima et beaucoup d’autres. La plupart de ces équations aux dérivées partielles ont ce signe distinctif commun : ce sont des équations différentielles de Lagrange, de certains problèmes du Calcul des variations, à savoir de ces problèmes de variation définis par la formule

\iint \mathrm {F} (p,q,z\,;\,x,y)\,dx\,dy={}

\iint \mathrm {F} (p,q,z\,;\,x,y)\,dx\,dy={}

minimum

\left(p={\frac {\partial z}{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial z}{\partial y}}\right)

\left(p={\frac {\partial z}{\partial x}},\qquad q={\frac {\partial z}{\partial y}}\right)

où pour tous les arguments considérés doit avoir lieu l’inégalité

{\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial p^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial q^{2}}}-{\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial p\,\partial q}}\right)}^{\!2}\!>0

{\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial p^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial q^{2}}}-{\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {F} }{\partial p\,\partial q}}\right)}^{\!2}\!>0

$\mathrm {F}$ $\mathrm {F}$ étant une fonction analytique. Nous nommerons un tel problème du Calcul des variations, un problème régulier. Ce sont les problèmes réguliers du Calcul des variations qui jouent un rôle principal en Géométrie, en Mécanique et en Physique mathématique ; on est donc conduit à se demander si toutes les solutions des problèmes réguliers du Calcul des variations sont toujours nécessairement des fonctions analytiques, c’est-à-dire si toute équation aux dérivées partielles de Lagrange d’un problème régulier du Calcul des variations a comme propriété de n’admettre que des intégrales analytiques, alors même que la fonction, comme dans le problème de Dirichlet, prendrait sur le contour des valeurs quelconques continues, mais non analytiques.

Je remarquerai encore qu’il existe, par exemple, des surfaces à courbure gaussienne constante négative qui sont représentées par des fonctions continues et susceptibles de différentiation successive, mais non analytiques, tandis qu’il est au contraire probable que toute surface à courbure gaussienne constante positive est nécessairement une surface analytique^[50]. On sait bien, d’ailleurs, que les surfaces à courbure constante positive sont intimement liées à ce problème régulier du Calcul des variations : faire passer par une courbe gauche fermée une surface dont l’aire soit un minimum, cette surface étant assujettie à la condition de renfermer avec une surface fixe un volume donné, la surface fixe elle-même devant passer par la courbe gauche donnée.

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