XVIII. — Partition de l’espace en polyèdres congruents.

Dans les questions où il s’agit de ces groupes de déplacements dans le plan, pour lesquels il existe une région fondamentale, on sait que la réponse est très différente suivant que l’on considère le plan (elliptique) de Riemann, le plan (parabolique) d’Euclide, ou le plan (hyperbolique) de Lobatchefskij. Dans le cas du plan elliptique, le nombre des régions fondamentales d’une espèce essentiellement différente est fini, et il suffit d’un nombre fini d’exemplaires de régions congruentes pour recouvrir sans lacunes le plan tout entier : le groupe est constitué par un nombre fini de déplacements. Dans le cas du plan hyperbolique, le nombre de régions fondamentales d’une espèce essentiellement différente est infini : ce sont les célèbres polygones de M. Poincaré ; pour recouvrir sans lacunes le plan tout entier, il faut un nombre infini d’exemplaires de régions congruentes. C’est le plan parabolique euclidien qui forme le cas intermédiaire ; en effet, dans ce cas il n’existe qu’un nombre fini d’espèces essentiellement différentes de groupes de déplacements à région fondamentale, tandis que pour recouvrir sans lacunes le plan tout entier il faut un nombre infini d’exemplaires de régions congruentes.

Des faits complètement analogues ont lieu dans l’espace à trois dimensions. Le fait que le nombre des groupes de déplacements dans l’espace elliptique est fini est une conséquence immédiate d’un théorème de M. C. Jordan^[43], en vertu duquel le nombre des espèces essentiellement distinctes de groupes finis de substitutions linéaires à ${\displaystyle n}$ variables ne peut dépasser une certaine limite finie dépendant de ${\displaystyle n}$. Les groupes de déplacements à région fondamentale dans l’espace hyperbolique ont été étudiés par MM. Klein et Fricke dans les Leçons sur la théorie des fonctions automorphes^[44] ; enfin MM. Feodorow^[45], Schœnflies^[46], et dernièrement M. Rohn^[47] ont démontré que, dans l’espace parabolique d’Euclide, il n’y a qu’un nombre fini d’espèces essentiellement différentes de groupes de déplacements à région fondamentale. Or, tandis que les résultats et les méthodes de démonstrations relatives aux espaces elliptiques et hyperboliques s’étendent immédiatement aux espaces à ${\displaystyle n}$ dimensions, il semble, au contraire, que la généralisation du théorème relatif à l’espace euclidien présente des difficultés considérables ; il serait donc à désirer que l’on se proposât cette recherche : Reconnaître si, dans l’espace euclidien à ${\displaystyle n}$ dimensions, il n’existe qu’un nombre fini d’espèces différentes de groupes de déplacements à région fondamentale.

Une région fondamentale de chaque groupe de déplacements, jointe aux régions congruentes provenant du groupe, fournit évidemment un recouvrement sans lacunes de l’espace tout entier. Alors se pose la question suivante : Existe-t-il aussi des polyèdres qui ne se présentent pas comme régions fondamentales de groupes de déplacements, et au moyen desquels cependant on peut, en juxtaposant convenablement les exemplaires congruents, arriver à remplir sans lacunes l’espace tout entier ? Je citerai aussi une question qui se relie à la précédente ; question importante pour la Théorie des nombres et peut-être utile aussi en Physique et en Chimie : c’est la question de savoir comment on pourrait, avec la plus grande densité possible, remplir l’espace au moyen d’un nombre infini de corps de même forme assignée d’avance, par exemple au moyen de sphères d’un rayon donné ou de tétraèdres d’arêtes données (on pourrait aussi assigner d’avance la position des arêtes) ; autrement dit, on demande de répartir ces corps dans l’espace de façon que le rapport de l’espace rempli à l’espace vide soit le plus grand possible.

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Si nous jetons un coup d’œil sur le développement de la théorie des fonctions pendant le xix^e siècle, nous remarquons avant tout le rôle fondamental joué par cette classe de fonctions que l’on nomme aujourd’hui fonctions analytiques, classe de fonctions qui resteront toujours le point central de l’intérêt mathématique.

Il serait facile de distribuer toutes les fonctions concevables dignes d’intérêt en classes formées à des points de vue divers. Considérons, par exemple, la classe des fonctions susceptibles d’être définies au moyen d’équations différentielles algébriques ordinaires ou au moyen d’équations de même nature aux dérivées partielles. On remarque immédiatement que cette classe de fonctions ne renferme pas des fonctions qui proviennent de la théorie des nombres, fonctions dont l’étude est pour nous de l’intérêt le plus élevé. Par exemple, la fonction ${\displaystyle {\zeta (s)}}$, dont on a déjà parlé, ne vérifie aucune équation différentielle algébrique, comme c’est facile à reconnaître au moyen de la relation connue entre ${\displaystyle {\zeta (s)}}$ et ${\displaystyle {\zeta (1-s)}}$ et en invoquant le théorème où M. Hölder^[48] démontre que la fonction ${\displaystyle {\Gamma (x)}}$ ne vérifie aucune équation différentielle algébrique. Il est aussi très vraisemblable que la fonction des deux variables ${\displaystyle s}$ et ${\displaystyle x}$, définie par la série

et qui est intimement liée à la fonction ${\displaystyle {\zeta (s)}}$, ne vérifie aucune équation algébrique aux dérivées partielles ; dans l’étude de cette dernière question, on devra faire usage de l’équation fonctionnelle

D’autre part, si par des considérations arithmétiques et géométriques nous sommes conduits à envisager la classe de toutes les fonctions continues et susceptibles d’être différentiées indéfiniment, nous devrons dans leur étude renoncer à ce moyen de travail si maniable des séries de puissances et à cette propriété que la fonction soit complètement déterminée par la succession de ses valeurs dans une région quelconque, si petite qu’elle soit. Par conséquent, tandis que la précédente limitation du domaine fonctionnel semblait trop étroite, celle-ci nous paraît beaucoup trop large.

Le concept de fonction analytique, au contraire, embrasse dans son domaine toutes les fonctions les plus importantes de la Science, qu’elles proviennent de la Théorie des nombres, de la Théorie des équations différentielles ou des équations fonctionnelles algébriques, ou même encore de la Géométrie et de la Physique mathématique ; c’est donc avec raison que, dans le royaume des fonctions, l’on donne le rôle prépondérant aux fonctions analytiques.