XVII. — Représentation des formes définies par des sommes de carrés.
Une fonction ou forme rationnelle entière à nombre quelconque de variables et à coefficients réels est dite définie lorsqu’elle ne prend jamais de valeurs négatives pour aucune valeur réelle des variables. Le système de toutes les formes définies se comporte d’une manière invariante vis-à-vis des opérations de l’addition et de la multiplication ; le quotient de deux fonctions définies, tant que c’est une fonction entière des variables, est une forme définie. Le carré d’une forme quelconque est évidemment toujours une forme définie, mais, ainsi que je l’ai démontré[40], une forme définie quelconque ne peut pas toujours être composée par addition au moyen de carrés de formes ; il se présente alors cette question, que j’ai résolue dans le sens affirmatif dans le cas des formes ternaires[41] : Une forme définie quelconque peut-elle être toujours représentée comme quotient de sommes de carrés de formes ? Il serait en même temps extrêmement utile de savoir, dans certaines questions relatives à la possibilité de certaines constructions géométriques, si les coefficients des formes représentantes peuvent être toujours pris dans le domaine de rationalité donné par les coefficients de la forme représentée[42].
Je citerai encore un problème géométrique.