XVI. — Problèmes de topologie des courbes et des surfaces algébriques.

Le nombre maximum des branches fermées et séparées que peut posséder une courbe plane algébrique d’ordre ${\displaystyle n}$ a été déterminé par Harnack^[37] ; reste la question de la situation mutuelle qu’occupent entre elles dans le plan les branches d’une courbe. En ce qui concerne les courbes du sixième ordre, je suis parvenu à prouver^[38], en entrant, il est vrai, dans beaucoup de détails, que les onze branches que peut avoir une courbe du sixième ordre, d’après Harnack, ne peuvent jamais avoir leurs cours tous séparés et qu’il doit, au contraire, exister une branche à l’intérieur de laquelle se trouve une branche unique, tandis que les neuf autres ont leurs cours à son extérieur, et réciproquement. Une étude approfondie des positions relatives des branches séparées dans le cas de leur nombre maximum me semble présenter un grand intérêt, et il en est de même de la recherche analogue relative au nombre, à la forme et à la position relative des nappes d’une surface algébrique dans l’espace. Jusqu’ici d’ailleurs l’on ne sait absolument rien sur le nombre maximum effectif de nappes que peut avoir une surface du quatrième ordre de l’espace à trois dimensions^[39].

Comme suite à ce problème purement algébrique, j’attirerai l’attention sur la question suivante, qui me semble pouvoir être attaquée au moyen de la méthode de la variation continue des coefficients ; la réponse à cette question est d’ailleurs importante pour la topologie des familles de courbes définies par des équations différentielles : Déterminer le nombre maximum et la situation relative des cycles limites de M. Poincaré dans le cas d’une équation différentielle du premier ordre et du premier degré de la forme

où ${\displaystyle \mathrm {X} ,\mathrm {Y} }$ désignent des fonctions rationnelles entières de degré ${\displaystyle n}$, de ${\displaystyle x,y}$, ou, en employant l’écriture homogène, de la forme

où ${\displaystyle \mathrm {X,Y,Z} }$ désignent des fonctions rationnelles entières et homogènes de degré ${\displaystyle n}$, de ${\displaystyle x,y,z,}$ ces fonctions devant être déterminées comme fonctions du paramètre.