XII. — Extension du théorème de Kronecker sur les corps abéliens à un domaine de rationalité algébrique quelconque.

C’est à Kronecker que l’on doit ce théorème que tout corps de nombres abélien dans le domaine des nombres rationnels est engendré par composition de corps de racines de l’unité. Ce théorème fondamental de la théorie des équations à coefficients numériques entiers renferme deux affirmations :

Premièrement, le théorème répond à la question relative au nombre et à l’existence des équations qui, dans le domaine des nombres rationnels, ont un degré, un groupe abélien et un discriminant assignés.

Secondement, le théorème nous dit que les racines de telles équations constituent un domaine de nombres algébriques qui coïncide exactement avec le domaine que l’on obtient lorsque, dans la fonction exponentielle ${\displaystyle e^{i\pi z}}$, on donne successivement à l’argument ${\displaystyle z}$ toutes les valeurs numériques rationnelles.

La première affirmation soulève la question de la détermination de certains nombres algébriques au moyen de leur groupe et de leur ramification ; cette question correspond donc au problème connu de la détermination des fonctions algébriques appartenant à une surface de Riemann donnée.

La seconde affirmation fournit les nombres demandés par un moyen transcendant, à savoir, au moyen de la fonction exponentielle ${\displaystyle e^{i\pi z}}$.

Après le domaine des nombres rationnels, le plus simple est celui du corps imaginaire quadratique ; le problème qui se présente d’abord est donc celui d’étendre à ce corps le théorème de Kronecker. Kronecker lui-même a affirmé que les équations abéliennes dans le domaine d’un corps quadratique sont fournies par les équations de transformation des fonctions elliptiques à module singulier, en sorte qu’ici les fonctions elliptiques jouent le rôle occupé, dans le cas précédent, par la fonction exponentielle. La démonstration de cette affirmation de Kronecker n’a pas encore été effectuée ; je crois que l’on peut y arriver, sans rencontrer de difficultés insurmontables, en s’appuyant sur la théorie de la multiplication complexe développée par M. Weber^[28], en même temps que sur les théorèmes purement arithmétiques que j’ai établis sur les classes de corps.

Enfin, ce qui me semble d’une importance capitale, c’est l’extension du théorème de Kronecker au cas où, au lieu du domaine des nombres rationnels ou bien des nombres du corps imaginaire quadratique, on prend, comme domaine de rationalité, un corps de nombres algébriques quelconques.

Je regarde ce problème comme un des plus profonds et des plus importants de toute la théorie des nombres et des fonctions.

Ce problème paraît abordable d’une foule de côtés. La clef la plus capable de nous ouvrir la voie à la solution de la partie arithmétique du problème est, selon moi, la loi générale de réciprocité des résidus de puissances ${\displaystyle l}$^ièmes dans un corps de nombres quelconque assigné.

Quant à la partie du problème qui est relative à la Théorie des fonctions, le chercheur se laissera conduire dans ce domaine si attrayant par les remarquables analogies que l’on observe entre la Théorie des fonctions algébriques d’une variable et celle des nombres algébriques. L’analogue du développement en série de puissances d’une fonction algébrique, dans la Théorie des nombres, a été établi et étudié par M. Hensel^[29] ; quant à l’analogue du théorème de Riemann-Roch, il a été traité par M. Landsberg^[30]. Ensuite l’analogie entre la notion du genre d’une surface de Riemann et la notion du nombre des classes d’un corps de nombres saute aux yeux. Pour ne parler que du cas le plus simple, considérons, d’une part, une surface de Riemann de genre ${\displaystyle {p=1}}$, et, d’autre part, un corps de nombres où le nombre des classes est ${\displaystyle {h=2}}$ ; alors à la démonstration de l’existence d’une intégrale partout finie sur la surface de Riemann correspond la démonstration de l’existence d’un nombre entier ${\displaystyle \alpha }$ dans le corps de nombres tel que le nombre ${\displaystyle {\sqrt {\overset {}{\alpha }}}}$ représente un corps non ramifié relativement quadratique par rapport au corps de base. Dans la Théorie des fonctions algébriques on sait que, pour démontrer ce théorème d’existence riemannien, on emploie la méthode du problème de Dirichlet ; de même, dans la Théorie des corps de nombres, c’est la démonstration de l’existence du nombre ${\displaystyle \alpha }$ qui présente aussi la difficulté principale. La démonstration s’appuie essentiellement sur le théorème que dans un corps de nombres il existe toujours des idéaux premiers possédant des caractères résiduels assignés. Ce dernier fait joue par suite, dans la Théorie des nombres, un rôle analogue à celui que joue le problème de Dirichlet dans la Théorie des fonctions.

Dans la Théorie des fonctions l’équation du théorème d’Abel énonce, comme on sait, la condition nécessaire et suffisante pour que les points en question de la surface de Riemann soient les zéros d’une fonction algébrique appartenant à la surface. L’analogue précis du théorème d’Abel, dans la Théorie des corps de nombres, où le nombre des classes est ${\displaystyle {h=2}}$, est l’équation de la loi de réciprocité quadratique^[31]

qui nous dit que l’idéal ${\displaystyle {\mathfrak {j}}}$ sera un idéal principal du corps de nombres, au seul et unique cas où le nombre ${\displaystyle \alpha }$ possède par rapport à l’idéal ${\displaystyle {\mathfrak {j}}}$ un caractère résiduel quadratique positif.

Nous voyons que, dans les problèmes que nous venons d’examiner, les trois branches fondamentales des Mathématiques, à savoir la Théorie des nombres, l’Algèbre et la Théorie des fonctions, sont dans le rapport le plus intime, et je suis convaincu que la Théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables ferait un progrès essentiel si l’on arrivait à la découverte et l’étude des fonctions qui, dans un corps de nombres algébriques quelconque donné, jouent le rôle analogue à celui joué, dans le corps des nombres rationnels, par la fonction exponentielle, et, dans le corps imaginaire quadratique, par la fonction modulaire elliptique.

Nous arrivons maintenant à l’Algèbre ; je parlerai dans ce qui suit d’un problème de la Théorie des équations, et d’un autre problème auquel m’a conduit la Théorie des invariants algébriques.