XIII. — Impossibilité de la résolution de l’équation générale du septième degré au moyen de fonctions de deux arguments seulement.
La Nomographie[32] a pour but la résolution des équations au moyen du tracé de réseaux de courbes qui dépendent d’un paramètre arbitraire. On voit immédiatement que toute racine d’une équation dont les coefficients dépendent de deux paramètres seulement, c’est-à-dire que toute fonction de deux variables indépendantes, est représentable d’une foule de manières, d’après ce principe de la Nomographie. Enfin, il est évident que ce principe, qui ne comporte l’emploi d’aucun élément mobile, permet de représenter une grande classe de fonctions de trois variables et plus, à savoir toutes les fonctions que l’on peut obtenir en construisant d’abord une fonction de deux arguments, puis en remplaçant chacun de ces arguments par une fonction de deux arguments, ces derniers à leur tour étant encore remplacés par des fonctions de deux arguments et ainsi de suite, en formant ainsi un enchaînement fini de fonctions de deux arguments. Par exemple, toute fonction rationnelle d’un nombre quelconque d’arguments appartient à cette classe de fonctions que l’on peut construire au moyen de tables nomographiques ; en effet, cette fonction peut être construite par addition, soustraction, multiplication et division, et chacune de ces opérations ne représente qu’une fonction de deux arguments. On voit de même que les racines de toutes les équations résolubles par radicaux dans un domaine naturel de rationalité appartiennent à la classe précitée de fonctions ; en effet, aux quatre opérations élémentaires on ne fait qu’ajouter l’opération d’extraction de racines, qui représente uniquement une fonction d’un argument. Semblablement, les équations du cinquième et du sixième degré sont résolubles par le moyen de Tables nomographiques convenables ; en effet, ces équations, par le moyen de transformations de Tschirnausen, qui elles-mêmes n’exigent que l’extraction de racines, peuvent être mises sous une forme où les coefficients ne dépendent que de deux paramètres.
Or il est probable que les racines des équations du septième degré sont des fonctions de leurs coefficients qui n’appartiennent pas à la classe susdite des fonctions que l’on peut construire par le moyen d’un enchaînement fini de fonctions de deux arguments. Pour le prouver, il serait nécessaire de démontrer que l’équation du septième degré
est impossible à résoudre au moyen de fonctions continues quelconques de deux arguments seulement.
Je remarquerai seulement qu’un examen rigoureux m’a prouvé qu’il existe des fonctions analytiques de trois arguments impossibles à obtenir au moyen d’enchaînements en nombre fini de fonctions de deux arguments seulement[33].
