XIV. — Démontrer que certains systèmes de fonctions sont finis.

Dans la Théorie des invariants algébriques, il me semble que les questions où il s’agit de savoir si les systèmes de formes complets sont finis présentent un intérêt particulier. Dernièrement, M. L. Maurer^[34] a réussi à étendre les théorèmes en question relatifs à la Théorie des invariants démontrés par M. Gordan et par moi, au cas où ce n’est pas, comme dans la Théorie usuelle des invariants, le groupe général projectif qui est pris comme base de la définition des invariants, mais un sous-groupe quelconque.

Un progrès essentiel dans cette direction avait déjà été effectué par M. A. Hurwitz^[35] lorsqu’il parvint, par une méthode des plus ingénieuses, à démontrer d’une manière générale que le nombre des invariants orthogonaux d’une forme fondamentale quelconque est fini.

En m’occupant de cette question du nombre fini des invariants, j’ai été conduit à un problème simple qui renferme comme cas particulier la question susdite et dont la solution exige probablement un développement de la Théorie de l’élimination et des systèmes de modules de Kronecker, poussé beaucoup plus loin qu’on n’a réussi à le faire jusqu’à présent.

Supposons que l’on ait assigné un nombre ${\displaystyle m}$ de fonctions rationnelles entières ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},\mathrm {X} _{2},\ldots ,\mathrm {X} _{m}}$ des ${\displaystyle n}$ variables ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$,

(S)

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{alignedat}{4}&\mathrm {X} _{1}&={}&f_{1}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{,}}\\&\mathrm {X} _{2}&={}&f_{2}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{,}}\\&\ldots &\ldots &\,..&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\text{,}}\\&\mathrm {X} _{m}&={}&f_{m}\!&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}){\text{.}}\end{alignedat}}\right.}$

Toute liaison rationnelle entière entre ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{2},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$, où l’on introduira les expressions ci-dessus, sera nécessairement une fonction rationnelle de ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle x_{n}}$. Cependant, il peut aussi très bien se faire qu’il y ait des fonctions rationnelles fractionnaires de ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{2},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$ qui, après l’opération des substitutions (S), deviendront des fonctions entières en ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle x_{n}}$. Une telle fonction rationnelle de ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$ qui, après que l’on aura effectué les substitutions (S), sera devenue une fonction entière en ${\displaystyle x_{1},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle x_{n}}$, je la nommerai une fonction relativement entière de ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$. Il est évident que toute fonction entière de ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$ est aussi relativement entière ; enfin, la somme, la différence et le produit de fonctions relativement entières sont également des fonctions relativement entières.

Le problème qui se présente alors est celui-ci : Est-il toujours possible de trouver un système fini de fonctions relativement entières de ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{2},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$ avec lesquelles on puisse composer d’une manière rationnelle entière toute autre fonction relativement entière de ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{2},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$ ? On peut formuler le problème encore plus simplement, si l’on introduit la notion de domaine fini d’intégrité.

Par domaine fini d’intégrité, j’entends un système de fonctions tel que l’on puisse toujours y choisir un nombre fini de fonctions à l’aide desquelles toutes les autres fonctions du système soient exprimables d’une manière rationnelle entière. Notre problème revient donc à démontrer que toutes les fonctions relativement entières d’un domaine quelconque de rationalité forment toujours un domaine fini d’intégrité.

Nous sommes enfin conduits à rendre le problème encore plus précis en le faisant rentrer dans la pure théorie des nombres ; on regardera, dans ce cas, les coefficients des fonctions données ${\displaystyle f_{1},}$ ${\displaystyle f_{2},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle f_{m}}$ comme étant des nombres entiers rationnels et, par fonctions relativement entières de ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},\,\ldots ,\mathrm {X} _{m}}$, on entendra seulement des fonctions rationnelles de ces arguments, telles que, après l’opération des substitutions (S), elles deviennent des fonctions rationnelles entières de ${\displaystyle x_{1},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle x_{n}}$ à coefficients rationnels entiers.

Un cas particulièrement simple du problème ainsi précisé est celui-ci : Soient ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$, ${\displaystyle m}$ fonctions rationnelles entières à coefficients rationnels entiers de l’unique variable ${\displaystyle x}$, et soit ${\displaystyle p}$ un nombre premier donné. Considérons le système des fonctions rationnelles entières de ${\displaystyle x}$, qui peuvent être mises sous la forme

où ${\displaystyle \mathrm {G} }$ désigne une fonction rationnelle entière de ses arguments ${\displaystyle \mathrm {X} _{1},\,\ldots ,}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{m}}$ et où ${\displaystyle p^{h}}$ est une puissance quelconque du nombre premier ${\displaystyle p}$. Des recherches que j’ai publiées autrefois dans les Math. Annalen, t. XXXVI, p. 485, font voir immédiatement que toutes les expressions de cette nature forment, pour chaque exposant déterminé ${\displaystyle h}$, un domaine fini d’intégrité ; mais il s’agit ici de savoir s’il en est de même pour tous les exposants ${\displaystyle h}$, c’est-à-dire qu’il s’agit de savoir si l’on peut choisir un nombre fini de pareilles expressions au moyen desquelles toute autre expression de cette forme peut être exprimée d’une manière entière et rationnelle pour un exposant ${\displaystyle h}$ quelconque.

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Je mentionnerai maintenant deux problèmes qui font partie de ce domaine intermédiaire qui confine à l’Algèbre et à la Géométrie : l’un est relatif à la Géométrie énumérative, l’autre à la Topologie des courbes et des surfaces algébriques.